1.2 Rechenregeln Ableitungen

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns damit, wie die mühsame Methode der Grenzwertbildung aus einer Folge von Differenzenquotienten vereinfacht werden kann. Dazu betrachten wir die Ableitungen von grundlegenden Funktionen. Mit Hilfe von Ableitungsregeln können daraus die Ableitungen von komplizierteren Funktionen gebildet werden.

Lernziele

Lernziele

• Sie wissen, was eine Ableitungsfunktion ist.

• Sie kennen von grundlegenden Funktionen die Ableitungsfunktionen auswendig.

• Sie beherrschen die folgenden Ableitungsregeln:

  • Faktorregel

  • Summenregel

  • Produktregel

  • Quotientenregel

  • Kettenregel

Die Ableitungsfunktion

Im letzten Kapitel haben wir den Differentialquotienten bzw. die Ableitung an einer einzelnen Stelle berechnet. In diesem Abschnitt wollen wir dieses Vorgehen auf ein Intervall verallgemeinern. Wir betrachten dazu als Beispiel die Funktion \(f(x) = x^2\). Zunächst berechnen wir die Ableitung an einer einzelnen Stelle, beispielsweise für \(x_1 = 2\). Dazu bilden wir den Grenzwert der Folge der Differentialquotienten:

\[\begin{align*} f'(2) &= \lim_{x_2 \to 2} \frac{f(x_2) - f(2)}{x_2 - 2} = \\ &= \lim_{x_2 \to 2} \frac{x_2^2 - 4}{x_2 - 2} = \\ &= \lim_{x_2 \to 2} \frac{(x_2 - 2) \cdot (x_2 + 2)}{x_2 - 2} = \\ &= \lim_{x_2 \to 2} x_2 + 2 = \\ &= 4. \end{align*}\]

Jetzt verallgemeinern wir die Grenzwertbildung auf beliebige Stellen \(x\in\mathbb{R}\). Die Vorgehensweise zur Berechnung des Grenzwertes bleibt dabei gleich:

\[\begin{align*} f'(x) &= \lim_{x_2 \to x} \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x} = \\ &= \lim_{x_2 \to x} \frac{x_2^2 - x^2}{x_2 - x} = \\ &= \lim_{x_2 \to x} \frac{(x_2 - x) \cdot (x_2 + x)}{x_2 - x} = \\ &= \lim_{x_2 \to x} x_2 + x = \\ &= 2x. \end{align*}\]

Wir haben also zu jeder Stelle \(x\in\mathbb{R}\) einen Wert für die Ableitung \(f'(x)\) an dieser Stelle gefunden, nämlich \(f'(x) = 2x\). Damit ist \(f'\) eine Funktion, denn jedem x-Wert wird eindeutig ein y-Wert f’(x) zugeordnet. Diese Erkenntnis klingt erst einmal banal, hilft ungemein bei der konkreten Berechnung von Ableitungen. Für häufig vorkommene Funktionen sind deren Ableitungsfunktionen in Tabellen hinterlegt. Und wie wir in den nächsten Abschnitten sehen werden, können viele komplizierte Funktionen aus einfachen Grundfunktionen zusammengesetzt werden. Kennen wir die Ableitungsfunktionen der Grundfunktionen, können wir so wieder die Ableitungsfunktion der komplizierten Funktion zusammensetzen.

Was ist … die Ableitungsfunktion?

Wenn für eine Funktion \(f\) an jeder Stelle ihrer Definitionsmenge die Ableitung existiert, kann eine neue Funktion gebildet werden, die jedes \(x\) aus der Definitionsmenge auf die Ableitung \(f'(x)\) abbildet. Diese Funktion \(f'\) wird Ableitungsfunktion von \(f\) genannt.

Ableitungen von wichtigen Grundfunktionen

Eine konstante Funktion ist besonders leicht abzuleiten, denn die Ableitung ist an jeder Stelle Null:

\[f(x)=C \Rightarrow f'(x)=0.\]

Beispiel:

\[f(x) = 5 \Rightarrow f'(x) = 0.\]

Die Ableitung einer Potenzfunktion ergibt wieder eine Potenzfunktion, allerdings wird der Exponent um Eins verringert und der alte Exponent wird ein neuer Vorfaktor. Für natürliche Exponenten \(n\in\mathbb{N}\) lautet die Ableitung:

\[f(x)=x^{n} \Rightarrow f'(x)=n\cdot x^{n-1}.\]

Die Wurzelfunktion ist etwas schwieriger abzuleiten.

\[f(x)=\sqrt{x} \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.\]

Tatsächlich kann die Wurzelfunktion auch als Potenzfunktion interpretiert werden, also \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\). Für Potenzfunktionen, bei denen der Exponent ein Bruch oder gar eine reelle Zahl ist, gelten dieselben Ableitungsregeln wie für Potenzfunktionen mit natürlichem Expoenten. Die einzige Einschränkung dabei ist, dass \(x\) positiv sein muss.

\[f(x) = x^{r} \Rightarrow f'(x) = r\cdot x^{r-1}, \quad x >0.\]

Mit diesem Wissen kann die Ableitung der Wurzelfunktion auch folgendermaßen berechnet werden:

\[f(x) = x^{\frac{1}{2}} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}.\]

Die Liste der Ableitungen der trigonometrischen Funktionen lautet:

\[\begin{align*} f(x)=\sin(x) &\Rightarrow f'(x)=\cos(x) \\ f(x)=\cos(x) &\Rightarrow f'(x)=-\sin(x) \\ f(x)=\tan(x) &\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)} \\ f(x)=\cot(x) &\Rightarrow f'(x)=-\frac{1}{\sin^2(x)} \\ \end{align*}\]

Am einfachsten lässt sich die Exponentialfunktion ableiten, sie bleibt sie selbst.

\[f(x)=e^{x}=\exp(x) \Rightarrow f'(x)=e^{x}=\exp(x).\]

Zum Abschluss der Liste mit den wichtigsten Ableitungsfunktionen notieren wir noch die Ableitung der Logarithmsfunktion:

\[f(x)=\ln(x) \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x}.\]

Video zu “Wichtige Ableitungen” von Mathematische Methoden

Faktorregel und Summenregel

Als nächstes betrachten wir die Ableitung von zusammengesetzten Funktionen. Wird eine Funktion mit einer konstanten reellen Zahl multipliziert, so muss auch ihre Ableitung mit dieser Zahl multipliziert werden.

Was ist … die Faktorregel?

Die Faktorregel ist eine Rechenregel zur Berechnung von Ableitungen. Wird eine Funktion mit einer konstanten reellen Zahl multipliziert, so muss auch ihre Ableitungsfunktion mit dieser Zahl multipliziert werden.

\[(C\cdot f(x))' = C\cdot f'(x).\]

Video zu “Faktorregel” von Mathematische Methoden

Wenn zwei Funktionen addiert werden, die beide differenzierbar sind, ist die Summe ebenfalls wieder ableitbar. Wie die Summe abgeleitet werden muss, gibt die Summenregel vor.

Was ist … die Summenregel?

Die Summenregel ist eine Rechenregel zur Berechnung von Ableitungen. Sind zwei Funktionen differenzierbar, so ist auch ihre Summe differenzierbar. Die Ableitungsfunktion ist dann die Summe der einzeln abgeleiteten Funktionen.

\[(f(x)+g(x))' = f'(x) + g'(x).\]

Gibt es einen Differenzenregel? Eine eigene Differenzenregel brauchen wir nicht, denn wir können die Faktorregel mit der Summenregel kombinieren.

\[(f(x) - g(x))' = (f(x) + (-1)\cdot g(x))' = f'(x) + (-1)\cdot g'(x) = f'(x) - g'(x).\]

Video zu “Summenregel” von Mathematische Methoden

Produktregel und Quotientenregel

Etwas komplizierter wird es, wenn Funktionen miteinander multipliziert oder dividiert werden.

Was ist … die Produktregel?

Die Produktregel ist eine Rechenregel zur Berechnung von Ableitungen. Sind zwei Funktionen differenzierbar, so ist auch ihr Produkt differenzierbar. Die Ableitung des Produktes wird dann folgendermaßen berechnet:

\[(f(x)\cdot g(x))' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x).\]

Video zu “Produktregel” von Mathematische Methoden

Was ist … die Quotientenregel?

Die Quotientenregel ist eine Rechenregel zur Berechnung von Ableitungen. Sind zwei Funktionen differenzierbar, so ist auch ihr Quotient differenzierbar (falls durch die Nennerfunktion geteilt werden darf). Die Ableitung des Quotienten wird dann folgendermaßen berechnet:

\[\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^2}.\]

Video zu “Quotientenregel” von Mathematische Methoden

Kettenregel

Wird eine Funktion \(g\) in einer andere Funktion \(f\) eingesetzt, so nennen wir diesen Vorgang “Verketten” und das Ergebnis ist die verkettete Funktion \(f(g)\).

Was ist … die Kettenregel?

Die Kettenregel ist eine Rechenregel zur Berechnung von Ableitungen. Sind zwei Funktionen differenzierbar, so ist auch ihre Verkettung differenzierbar. Die Ableitung der verketteten Funktion wird dann folgendermaßen berechnet:

\[\left(f(g(x))\right)' = f'\left(g(x)\right) \cdot g'(x).\]

Video zu “Kettenregel” von Mathematische Methoden

Zusammenfassung und Ausblick

In diesem Kapitel haben wir uns damit beschäftigt, wie Ableitungen berechnet werden können, wenn ihre Ableitungsfunktion bekannt ist. Zu grundlegenden Funktionen sollte man die Ableitungsfunktionen auswendig wissen. Wenn eine komplizierte Funktion aus einfachen Grundfunktionen zusammengesetzt ist, können wir dann ihre Ableitung durch Anwenden der Ableitungsregeln (Faktorregel, Summenregel, Produktregel, Quotientenregel oder Kettenregel) bilden.