Übungen

Übung 5.1

Berechnen Sie das Taylorpolynom der Ordnung 3

\[f(x) = \frac{1}{x+1}\]

für die Entwicklungspunkte \(x_0 = 0\) und \(x_0 = 1\).

Lösung

Das Taylorpolynom von \(f\) im Entwicklungspunkt \(x_{0}=0\) ist

\[\begin{equation*} T_{3}(x) = 1-x+x^2-x^3 . \end{equation*}\]

Das Taylorpolynom von \(f\) im Entwicklungspunkt \(x_{0}=1\) ist

\[\begin{equation*} T_{3}(x)= \frac{1}{2} -\frac{1}{4}\cdot(x-1)^{1} +\frac{1}{8}\cdot(x-1)^{2} -\frac{1}{16}\cdot(x-1)^{3}. \end{equation*}\]

Lösungsweg

Die ersten drei Ableitungen von \(f(x) = \frac{1}{x+1}\) lauten:

\[\begin{align*} f^\prime(x)&=-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2} \\ f^{\prime \prime}(x)&=\frac{2}{{\left(x+1\right)}^3} \\ f^{(3)}(x)&=-\frac{6}{{\left(x+1\right)}^4} \end{align*}\]

Die allgemeine Darstellung eines Taylorpolynoms von \(f\) vom Grad 3 im Entwicklungspunkt \(x_0\) lautet

\[\begin{equation*} T_{3}(x)\ =\ f(x_0) +\frac{f^\prime(x_0)}{1!}(x-x_0)^{1} +\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^{2} +\frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}(x-x_0)^{3}. \end{equation*}\]

Es gilt für \(x_0=0\):

\[f(0) = 1, \quad f'(0)=-1, \quad f''(0)= 2, \quad f^{(3)}(0)=-6.\]

Das Taylorpolynom von \(f\) im Entwicklungspunkt \(x_{0}=0\) ist

\[\begin{equation*} T_{3}(x)= 1 -1 \cdot(x-0)^{1} + 1 \cdot(x-0)^{2} -1 \cdot(x-0)^{3} = 1-x+x^2-x^3 . \end{equation*}\]

Es gilt für \(x_0=1\):

\[f(1) = \frac{1}{2}, \quad f'(1)=-\frac{1}{4}, \quad f''(1)= \frac{1}{4}, \quad f^{(3)}(1)=-\frac{6}{16}.\]

Das Taylorpolynom von \(f\) im Entwicklungspunkt \(x_{0}=1\) ist

\[\begin{equation*} T_{3}(x)= \frac{1}{2} -\frac{1}{4}\cdot(x-1)^{1} +\frac{1}{8}\cdot(x-1)^{2} -\frac{1}{16}\cdot(x-1)^{3}. \end{equation*}\]

Übung 5.2

Berechnen Sie das Taylorpolynom der Ordnung 3

\[f(x) = \sqrt{x+1}\]

für die Entwicklungspunkte \(x_0 = 0\) und \(x_0 = 1\).

Lösung

Das Taylorpolynom von \(f\) im Entwicklungspunkt \(x_{0}=0\) ist

\[\begin{equation*} T_{3}(x) = 1 + \frac{1}{2}x -\frac{1}{8}x^2 +\frac{1}{16}x^3. \end{equation*}\]

Das Taylorpolynom von \(f\) im Entwicklungspunkt \(x_{0}=1\) ist

\[\begin{equation*} T_{3}(x)= \sqrt{2} +\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot(x-1)^{1} -\frac{\sqrt{2}}{32}\cdot(x-1)^{2} +\frac{\sqrt{2}}{128}\cdot(x-1)^{3}\ . \end{equation*}\]

Lösungsweg

Die ersten drei Ableitungen von \(f(x) = \sqrt{x+1}\) lauten:

\[\begin{align*} f^\prime(x)&=\frac{1}{2\,\sqrt{x+1}} \\ f^{\prime \prime}(x)&=-\frac{1}{4\,{\left(x+1\right)}^{3/2}} \\ f^{(3)}(x)&=\frac{3}{8\,{\left(x+1\right)}^{5/2}} \end{align*}\]

Die allgemeine Darstellung eines Taylorpolynoms von \(f\) vom Grad 3 im Entwicklungspunkt \(x_0\) lautet

\[\begin{equation*} T_{3}(x)\ =\ f(x_0) +\frac{f^\prime(x_0)}{1!}(x-x_0)^{1} +\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^{2} +\frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}(x-x_0)^{3}. \end{equation*}\]

Es gilt für \(x_0=0\):

\[f(0) = 1, \quad f'(0)=\frac{1}{2}, \quad f''(0)=-\frac{1}{4}, \quad f^{(3)}(0)=\frac{3}{8}.\]

Das Taylorpolynom von \(f\) im Entwicklungspunkt \(x_{0}=0\) ist

\[\begin{equation*} T_{3}(x)= 1 +\frac{1}{2}\cdot(x-0)^{1} -\frac{1}{8}\cdot(x-0)^{2} +\frac{1}{16}\cdot(x-0)^{3} = 1 + \frac{1}{2}x -\frac{1}{8}x^2 +\frac{1}{16}x^3. \end{equation*}\]

Es gilt für \(x_0=1\):

\[f(1) = \sqrt{2}, \quad f'(1)=\frac{\sqrt{2}}{4}, \quad f''(1)=-\frac{\sqrt{2}}{16}, \quad f^{(3)}(1)=\frac{3\sqrt{2}}{64}.\]

Das Taylorpolynom von \(f\) im Entwicklungspunkt \(x_{0}=1\) ist

\[\begin{equation*} T_{3}(x)= \sqrt{2} +\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot(x-1)^{1} -\frac{\sqrt{2}}{32}\cdot(x-1)^{2} +\frac{\sqrt{2}}{128}\cdot(x-1)^{3}\ . \end{equation*}\]

Übung 5.3

Berechnen Sie das Taylorpolynom der Ordnung 3

\[f(x) = \ln((1+x)^2)\]

für den Entwicklungspunkt \(x_0 = 0\).

Lösung

Das Taylorpolynom von \(f\) im Entwicklungspunkt \(x_{0}=0\) ist

\[\begin{equation*} T_{3}(x) = 2x - x^{2} +\frac{2}{3}x^{3}. \end{equation*}\]

Lösungsweg

Die ersten drei Ableitungen von \(f(x) = \ln((1+x)^2)\) lauten:

\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{2}{1+x}\\ f''(x) &= -\frac{2}{(1+x)^2} \\ f^{(3)}(x) &= \frac{4}{(1+x)^3} \end{align*}\]

Die allgemeine Darstellung eines Taylorpolynoms von \(f\) vom Grad 3 im Entwicklungspunkt \(x_0\) lautet

\[\begin{equation*} T_{3}(x)\ =\ f(x_0) +\frac{f^\prime(x_0)}{1!}(x-x_0)^{1} +\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^{2} +\frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}(x-x_0)^{3}. \end{equation*}\]

Es gilt für \(x_0=0\):

\[f(0) = 0, \quad f'(0)=2, \quad f''(0)=-2, \quad f^{(3)}(0)=4.\]

Das Taylorpolynom von \(f\) im Entwicklungspunkt \(x_{0}=0\) ist

\[\begin{equation*} T_{3}(x)= 0 +2\cdot(x-0)^{1} -(x-0)^{2} +\frac{2}{3}\cdot(x-0)^{3} = 2x - x^{2} +\frac{2}{3}x^{3}. \end{equation*}\]

Übung 5.4

Berechnen Sie das Taylorpolynom der Ordnung 3

\[f(x) = \ln\left(\frac{1+x}{1-x} \right)\]

für den Entwicklungspunkt \(x_0 = 0\).

Lösung

Das Taylorpolynom von \(f\) im Entwicklungspunkt \(x_{0}=0\) ist

\[\begin{equation*} T_{3}(x) = 2x +\frac{2}{3}x^{3}. \end{equation*}\]

Lösungsweg

Die ersten drei Ableitungen von \(f(x) = \ln\left(\frac{1+x}{1-x} \right)\) lauten:

\[\begin{align*} f'(x) &= -\frac{2}{x^2-1}\\ f''(x) &= \frac{4x}{(x^2-1)^2} \\ f^{(3)}(x) &= -\frac{4(3x^2+1)}{(x^2-1)^3} \end{align*}\]

Die allgemeine Darstellung eines Taylorpolynoms von \(f\) vom Grad 3 im Entwicklungspunkt \(x_0\) lautet

\[\begin{equation*} T_{3}(x)\ =\ f(x_0) +\frac{f^\prime(x_0)}{1!}(x-x_0)^{1} +\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^{2} +\frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}(x-x_0)^{3}. \end{equation*}\]

Es gilt für \(x_0=0\):

\[f(0) = 0, \quad f'(0)=2, \quad f''(0)=0, \quad f^{(3)}(0)=4.\]

Das Taylorpolynom von \(f\) im Entwicklungspunkt \(x_{0}=0\) ist

\[\begin{equation*} T_{3}(x)= 0 +2\cdot(x-0)^{1} +0\cdot(x-0)^{2} +\frac{4}{6}\cdot(x-0)^{3} = 2x +\frac{2}{3}x^{3}. \end{equation*}\]

Übung 5.5

Berechnen Sie das Taylorpolynom der Ordnung 3

\[f(x) = \sin(x^2)\]

für den Entwicklungspunkt \(x_0 = 0\).

Lösung

Das Taylorpolynom von \(f\) im Entwicklungspunkt \(x_{0}=0\) ist

\[\begin{equation*} T_{3}(x) = x^2. \end{equation*}\]

Lösungsweg

Die ersten drei Ableitungen von \(f(x) = \sin(x^2)\) lauten:

\[\begin{align*} f^\prime(x)&=2\,x\,\cos\left(x^2\right) \\ f^{\prime \prime}(x)&=2\,\cos\left(x^2\right)-4\,x^2\,\sin\left(x^2\right) \\ f^{(3)}(x)&=-12\,x\,\sin\left(x^2\right)-8\,x^3\,\cos\left(x^2\right) \end{align*}\]

Die allgemeine Darstellung eines Taylorpolynoms von \(f\) vom Grad 3 im Entwicklungspunkt \(x_0\) lautet

\[\begin{equation*} T_{3}(x)\ =\ \frac{f(x_0)}{0!} +\frac{f^\prime(x_0)}{1!}(x-x_0)^{1} +\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^{2} +\frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}(x-x_0)^{3}. \end{equation*}\]

Es gilt für \(x_0=0\):

\[f(0) = 0, \quad f'(0)=0, \quad f''(0)=2, \quad f^{(3)}(0)=0.\]

Das Taylorpolynom von \(f\) im Entwicklungspunkt \(x_{0}=0\) ist

\[\begin{equation*} T_{3}(x)= 0 + 0 \cdot(x-0)^{1} + \frac{2}{2} \cdot(x-0)^{2} + \frac{0}{6} \cdot(x-0)^{3} = x^2. \end{equation*}\]

Übung 5.6

Berechnen Sie das Taylorpolynom der Ordnung 3

\[f(x)=x^3\,\left(\ln\left(x\right)-3\right)\]

für den Entwicklungspunkt \(x_0 = 3\).

Lösung

Das Taylorpolynom von \(f\) im Entwicklungspunkt \(x_{0}=3\) ist

\[\begin{equation*} T_{3}(x)= 27\,\ln\left(3\right)-81 +(27\,\ln\left(3\right)-72)\cdot(x-3)^{1} +(9\,\ln\left(3\right)-\frac{39}{2})\cdot(x-3)^{2} +(\ln\left(3\right)-\frac{7}{6})\cdot(x-3)^{3}\ . \end{equation*}\]

Lösungsweg

Die ersten drei Ableitungen von \(f(x)=x^3\,\left(\ln\left(x\right)-3\right)\) lauten:

\[\begin{align*} f^\prime(x)&=3\,x^2\,\left(\ln\left(x\right)-3\right)+x^2 \\ f^{\prime \prime}(x)&=5\,x+6\,x\,\left(\ln\left(x\right)-3\right) \\ f^{(3)}(x)&=6\,\ln\left(x\right)-7 \end{align*}\]

Die allgemeine Darstellung eines Taylorpolynoms von \(f\) vom Grad 3 im Entwicklungspunkt \(x_0\) lautet

\[\begin{equation*} T_{3}(x)\ =\ \frac{f(x_0)}{0!} +\frac{f^\prime(x_0)}{1!}(x-x_0)^{1} +\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^{2} +\frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}(x-x_0)^{3}. \end{equation*}\]

Es gilt für \(x_0=3\):

\[f(3) = 27\ln(3)-81, \; f'(3)=27\ln(3)-72, \; f''(3)=18\ln(3)-39, \; f^{(3)}(3)=6\ln(3)-7.\]

Das Taylorpolynom von \(f\) im Entwicklungspunkt \(x_{0}=3\) ist

\[\begin{equation*} T_{3}(x)= 27\,\ln\left(3\right)-81 +(27\,\ln\left(3\right)-72)\cdot(x-3)^{1} +(9\,\ln\left(3\right)-\frac{39}{2})\cdot(x-3)^{2} +(\ln\left(3\right)-\frac{7}{6})\cdot(x-3)^{3}\ . \end{equation*}\]

Weitere Übungsaufgaben

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• Übungsaufgaben Taylorpolynome Grad 1 bis Grad 4 einstellbar