2.2 Eigenschaften von Integralen

2.2 Eigenschaften von Integralen#

Kennt man die Eigenschaften von Integralen, so kann das so manche Rechnung erheblich vereinfachen. Im Folgenden werden die wichtigsten Eigenschaften von Integralen präsentiert.

Lernziele#

Lernziele

Sie wissen, wie sich das Integral verändert, wenn die beiden Integrationsgrenzen miteinander vertauscht werden:

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = - \int_{b}^{a} f(x)\, dx.\]

Sie wissen, dass das Integral Null ist, wenn die untere Integrationsgrenze gleich der oberen Integrationsgrenze ist:

\[\int_{a}^{a} f(x)\, dx = 0.\Rule{0 px}{0 em}{1.5 em}\]

Sie wissen, dass ein Integral mit dem Punkt \(c\) in zwei Integrale aufgespalten werden kann:

\[\int_{a}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{c} f(x) \,dx + \int_{c}^{b} f(x) \,dx. \Rule{0 px}{0 em}{1.5 em}\]

Sie kennen die Faktorregel:

\[\int_{a}^{b} c\cdot f(x)\, dx = c\cdot \int_{a}^{b} f(x)\, dx.\]

Sie kennen die Summenregel:

\[\int_{a}^{b} f(x) \pm g(x) \, dx = \int_{a}^{b}f(x)\, dx \pm \int_{a}^{b} g(x)\, dx.\]

Integrationsgrenzen#

Als erstes betrachten wir die Eigenschaften von Integralen, wenn der Integrand \(f\) gleich bleibt, aber die Integrationsgrenzen geändert werden.

Werden die beiden Integrationsgrenzen vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen des Integrals. Integrieren wir also die Funktion \(f\) von \(b\) nach \(a\) anstatt von \(a\) nach \(b\), müssen wir dieses Integral nur mit \(-1\) multiplizieren, um das ursprüngliche Integral von \(a\) nach \(b\) zu erhalten. In Formeln sieht das so aus:

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = - \int_{\textcolor{red}{b}}^{\textcolor{red}{a}} f(x)\, dx.\]

Gar nicht erst rechnen müssen wir, wenn das Integral über \(f\) von \(a\) bis \(a\) geht. In anderen Worten betrachten wir jetzt ein Integral, bei dem die untere Integrationsgrenze und die obere Integrationsgrenze zusammenfallen. Wenn wir das Integral als orientierte Fläche zwischen dem Funktionsgraphen \(f(x)\) und der x-Achse interpretieren, heißt das, dass gar kein Rechteck mehr existiert. Anstatt eines Rechtecke liegt sozusagen nur noch ein unendlich dünner Strich an der Stelle \(x=a\) vor, weil es ja von \(a\) nach \(a\) geht. Ein Strich hat keinen Flächeninhalt, das Integral ist also Null. Als mathematische Formel notiert heißt das:

\[\int_{\textcolor{red}{a}}^{\textcolor{red}{a}} f(x)\, dx = 0.\Rule{0 px}{0 em}{1.5 em}\]

Weiter geht es… wiederum hilft die Flächeninterpretation weiter. Diesmal erfinden wir einen neuen Punkt \(c\). Dann kann die Fläche zwischen Funktionsgraph, x-Achse und den Grenzen a und b in zwei Flächen aufgeteilt werden. Die erste Fläche ist die Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse von \(a\) nach \(c\). Die zweite Fläche ist die Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse von \(c\) nach \(b\). Und beide Flächen zusammen müssen wieder die ursprüngliche Fläche ergeben. Also:

\[\int_{a}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{\textcolor{red}{c}} f(x) \,dx + \int_{\textcolor{red}{c}}^{b} f(x) \,dx. \Rule{0 px}{0 em}{1.5 em}\]

Alle drei Eigenschaften werden nochmal in dem folgenden Video erläutert.

Linearität des Integrals#

Linearität des Integrals klingt kompliziert, ist es aber nicht. Gemeint sind damit die folgenden zwei Eigenschaften.

Faktorregel: Wenn die Funktion \(f\) mit einer konstanten Zahl \(c\) multipliziert wird und dann integriert werden soll, dann können wir auch zuerst das Integral von \(f\) berechnen und danach das Ergebnis \(c\) multiplizieren. Oder anders ausgedrückt: wenn im Integranden ein konstanter Faktor ist, dann darf man diesen konstanten Faktor auch vor das Integral ziehen.