5.3 Wichtige Potenzreihen

Es gibt einige wichtige Taylorreihen, die in den Ingenieurwissenschaften sehr häufig zur Approximation bestimmter Funktionen verwendet werden. Im Folgenden werden wir uns mit einigen dieser Taylorreihen beschäftigen.

Lernziele

Lernziele

Sie kennen die wichtigsten Potenz- bzw. Taylorreihen.

Die Exponential- und Logarithmusfunktion

Die Taylorreihe für die Exponentialfunktion \(f(x)=e^x\) am Entwicklungspunkt \(x_0=0\) ist:

\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}.\]

Der Konvergenzradius ist unendlich, d.h. die Approximation der Exponentialfunktion durch ihre Taylorreihe gilt für alle reellen Zahlen \(x\in\mathbb{R}\).

Die Logarithmusfunktion \(f(x)=\ln(x)\) ist nur für positive reelle Zahlen \(x > 0\) definiert. Daher können wir nicht den üblichen Entwicklungspunkt \(x_0=0\) nehmen, sondern nehmen stattdessen \(x_0=1\). Die Taylorreihe lautet dann

\[\ln(x) = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \ldots = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}(x-1)^k.\]

Die Taylorreihe der Logarithmusfunktion hat den Konvergenzradius 1, d.h. die Approximation ist nur im Konvergenzbereich \(0 < x \leq 2\) gültig.

Die Sinus- und Kosinusfunktion

Die Taylorreihe der Sinusfunktion \(f(x)=\sin(x)\) am Entwicklungspunkt \(x_0=0\) lautet:

\[\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.\]

Der Konvergenzradius ist unendlich, d.h. die Approximation der Sinusfunktion durch ihre Taylorreihe gilt für alle reellen Zahlen \(x\in\mathbb{R}\).

Die Kosinusfunktion \(f(x)=\cos(x)\) hat die Taylorreihe

\[\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}.\]

Der Konvergenzradius ist unendlich, d.h. die Approximation der Kosinusfunktion durch ihre Taylorreihe gilt für alle reellen Zahlen \(x\in\mathbb{R}\).