5.3 Beispiele für Fourierreihen

5.3 Beispiele für Fourierreihen#

In diesem Kapitel untersuchen wir drei klassische Beispiele für Fourierreihen: die Rechteckschwingung, die Sägezahnschwingung und die Dreieckschwingung. Diese Funktionen treten häufig in der Signalverarbeitung und der Physik auf, etwa bei der Beschreibung von periodischen Signalen oder der Analyse von Schwingungen.

Lernziele#

Lernziele

Sie können die Fourierreihe einer Rechteckschwingung berechnen.
Sie können die Fourierreihe einer Sägezahnschwingung berechnen.
Sie können die Fourierreihe einer Dreieckschwingung berechnen.

Die Rechteckschwingung#

Die Rechteckschwingung (manchmal auch Rechteckimpuls oder Rechtecksignal genannt) ist eine periodische Funktion, die zwischen zwei konstanten Werten wechselt. Als Beispiel für eine Rechteckschwingung betrachten wir die Rechteckfunktion

\[\begin{split}f(t) = \begin{cases} 1, \quad &0 \leq t < \pi,\\ -1, \quad &\pi \leq t < 2\pi, \end{cases}\end{split}\]

auf dem Intervall \([0, 2\pi]\) und setzen sie periodisch fort. Die Periode ist daher \(T = 2\pi\). Das folgende Applet zeigt eine interaktive Visualisierung der Rechteckschwingung und der dazugehörigen Fourierreihe.

Interaktives Applet “Fourierreihe Rechteckschwingung”

Das folgende interaktive Applet Fourierreihe Rechteckschwingung veranschaulicht die Rechteckschwingung sowie ihre Fourierreihe. Experimentieren Sie mit dem Schieberegler, um zu beobachten, wie sich die Fourierreihe durch Hinzufügen weiterer Glieder der Reihe der ursprünglichen Rechteckfunktion annähert.

Nun berechnen wir die Fourierkoeffizienten der Rechteckschwingung. Die allgemeine Formel für den ersten Fourierkoeffizient \(a_0\) lautet mit der Periode \(T=2\pi\)

\[a_0 = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \, dt = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,dt.\]

Die Rechteckfunktion ist für zwei Abschnitte definiert, daher teilen wir das Integral entsprechend in die beiden Intervalle \([-\pi,0]\) und \([0,\pi]\) auf. Im ersten Intervall \([-\pi, 0]\) ist die Rechteckschwingung konstant \(f(t) = -1\), im zweiten Intervall \([0,\pi]\) ist die Rechteckschwingung konstant \(f(t) = 1\). Somit können wir das Integral folgendermaßen in die Summe zweier Integrale aufteilen.

\[\begin{align*} a_0 &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,dt \\ &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}-1\,dt +\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}1\,dt\\ &= \frac{1}{\pi}\Big[-t\Big]_{-\pi}^{0} + \frac{1}{\pi}\Big[t\Big]_{0}^{\pi}\\ &= \frac{1}{\pi}\Big(-0-(+\pi)\Big) + \frac{1}{\pi}\Big(\pi-0\Big) = 0. \end{align*}\]

Nun berechnen wir die Fourierkoeffizienten \(a_n\) für \(n \geq 1\). Dabei benötigen wir zuerst die Frequenz \(\omega\). Da wir als Periode \(T=2\pi\) gewählt haben, gilt

\[\omega = \frac{T}{2\pi} = \frac{2\pi}{2\pi}=1.\]

Setzen wir \(T=2\pi\) und \(\omega=1\) in die allgemeine Formel der Fourierkoeffizienten \(a_n\) ein und verwenden wir wiederum die Aufteilung in die beiden Teilintervalle \([-\pi, 0]\) und \([0,\pi]\), dann gilt:

\[\begin{align*} a_n &= \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \, \cos(n \, \omega \, t) \, dt\\ &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t) \, \cos(n t) \, dt\\ &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0} -1\, \cos(n t) \, dt + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}1 \, \cos(n t) \, dt \\ &= \frac{1}{\pi}\left[-\frac{1}{n} \sin(nt) \right]_{-\pi}^{0} + \frac{1}{\pi}\left[\frac{1}{n}\sin(nt)\right]_{0}^{\pi}. \end{align*}\]

Die Zahl \(n\) ist eine natürliche Zahl. Setzen wir \(0\) oder Vielfache von \(\pi\) in die Sinusfunktion ein, ist das Ergebnis Null, also

\[\sin(0) = \sin(n\cdot \pi) = 0.\]

Damit sind insgesamt alle Fourierkoeffizienten \(a_n = 0\). Im nächsten Kapitel werden wir lernen, wir dieses Ergebnis schneller hätten ermitteln können.

Nun berechnen wir die Fourierkoeffizienten

\[b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \, \sin(n \, \omega \, t) \, dt\]

für \(n \geq 1\). Wir verwenden erneut den Trick, das Integrationsintervall in zwei Intervalle aufzuteilen:

\[\begin{align*} b_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\, \sin(nt)\, dt \\ &=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}-1\sin(nt)\, dt + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}1\sin(nt)\, dt\\ &=\frac{1}{\pi}\left[\frac{1}{n}\cos(nt)\right]_{-\pi}^{0} + \frac{1}{\pi}\left[-\frac{1}{n}\cos(nt)\right]_{0}^{\pi} \\ &= \frac{1}{n\cdot\pi}\Big[\cos(nt)\Big]_{-\pi}^{0} - \frac{1}{n\cdot\pi}\Big[\cos(nt)\Big]_{0}^{\pi} \\ &= \frac{1}{n\cdot\pi}\Big(\cos(0) - \cos(-n\cdot\pi)\Big) - \frac{1}{n\cdot\pi} \Big(\cos(n\cdot\pi)-\cos(0)\Big). \end{align*}\]

Die Kosinusfunktion ist eine gerade Funktion, also gilt

\[\cos(-n\cdot\pi) = \cos(n\cdot\pi).\]

Darüber hinaus gilt \(\cos(0)=1\), so dass wir insgesamt

\[b_n = \frac{2}{n\cdot\pi} - \frac{2}{n\cdot\pi}\cos(n\cdot\pi)\]

erhalten.

Der Funktionswert der Kosinusfunktion an den Stellen \(t = n\cdot\pi\) springt zwischen \(-1\) und \(1\) hin und her. Ist \(n\) ungerade, dann ist \(\cos(n\cdot\pi)=-1\). Ist jedoch \(n\) gerade, dann gilt \(\cos(n\cdot\pi)=+1\). Daher gilt für die Fourierkoeffizienten

\[\begin{split}b_n = \begin{cases} 0, \quad & n\text{ gerade}\\ \dfrac{4}{n\cdot\pi}, \quad & n\text{ ungerade}.\end{cases}\end{split}\]

Jetzt können wir die Fourierreihe bilden:

\[\begin{align*} f(t) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos(n \omega t) + b_n \sin(n \omega t) \right)\\ &= \frac{4}{1\cdot\pi}\sin(t) + \frac{4}{3\cdot\pi}\sin(3t) + \frac{4}{5\cdot\pi}\sin(5t) + \ldots \end{align*}\]

Es wäre schön, eine kompaktere Angabe für die Fourierreihe zu benutzen. Dazu benutzen wir den Trick, die ungeraden Zahlen als \(2k-1\) darzustellen mit \(k\in\mathbb{N}\). Dann lautet die Fourierreihe nämlich

\[f(t) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{k\cdot\pi}\sin(k t) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(kt)}{k}.\]

In dem folgenden Video wird das gleiche Beispiel vorgerechnet.

Ein weiteres Beispiel für die Berechnung einer Fourierreihe einer Rechteckschwingung finden Sie in dem folgenden Video.

Die Sägezahnfunktion#

Die Dreiecksfunktion#

Zusammenfassung und Ausblick#

Mit den Fourierreihen der Rechteck-, Sägezahn- und Dreieckschwingung haben wir drei bekannte Beispiele für die Anwendung von Fourierreihen kennengelernt. Bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten der Rechteckschwingung haben wir festgestellt, dass die Fourierkoeffizienten des Kosinusanteils Null sind. Das liegt daran, dass in diesem Beispiel die betrachtete Funktion ungerade war. Das werden wir im nächsten Kapitel näher untersuchen.