12.1 Grundbegriffe#
In diesem Abschnitt führen wir zunächst die grundlegenden Begriffe rund um das Thema Differentialgleichungen anhand eines einfachen Beispieles ein.
Lernziele#
Lernziele
Sie wissen, was eine Differentialgleichung ist.
Sie kennen verschiedene Schreibweisen zur Formulierung von Differentialgleichungen.
Sie können die Ordnung einer Differentialgleichung ablesen.
Sie können erklären, was eine gewöhnliche Differentialgleichung und was eine partielle Differentialgleichung ist.
Sie können unterscheiden, ob eine Differentialgleichung in der expliziten Form oder der impliziten Form formuliert wurde.
Eine Differentialgleichung ist auch nur eine Gleichung#
Bisher haben wir Gleichungen kennengelernt, bei denen nach einer oder mehreren reellen Zahlen gesucht wurde. Die reellen Zahlen, die die Gleichung erfüllen, nennen wir Lösung der Gleichung. Damit ist gemeint, dass man die gefundene reelle Zahl, also die Lösung, in die Gleichung einsetzt und überprüft, ob linke und rechte Seite übereinstimmen.
Beispielsweise wird die Gleichung
von zwei reellen Zahlen erfüllt, nämlich \(x_1 = -2\) und \(x_2=3\). Wir können beide Zahlen in die Gleichung einsetzen und erhalten \(x_1^2 -x_1 - 6 = 4 + 2 - 6 = 0\) und \(x_2^2 - x_2 - 6 = 9 -3 - 6 = 0\). Damit sind beide Zahlen eine Lösung dieser Gleichung. Wie wir jedoch auf die Lösung der Gleichung kommen, durch Raten, ein systematisches Verfahren oder durch den Computer, ist ein eigenes mathematisches Thema. Auch ist nicht von vornherein klar, ob die Gleichung überhaupt lösbar ist und wie viele Lösungen es ggf. gibt.
Gerade in den Ingenieurwissenschaften wird oft nicht eine Zahl gesucht, sondern eine Funktion! Und oft spielen Ableitungen dabei eine wichtige Rolle. Ein simples mathematisches Beispiel für eine Gleichung mit einer Funktion und einer Ableitung ist die folgende Gleichung:
Gesucht wird also eine Funktion, die zweimal abgeleitet die Funktion selbst wieder ergibt, nur mit umgekehrten Vorzeichen. Eine Funktion, die diese Gleichung löst, ist die Sinus-Funktion. Probieren wir es aus und bilden erst einmal die Ableitungen:
Eingesetzt in die Gleichung erhalten wir also \(-\sin(x) = -\sin(x)\). Damit erfüllt die Sinus-Funktion die Gleichung \(f''(x) = -f(x).\)
Mini-Übung
Welche der folgenden Funktionen ist erfüllt die Gleichung
a) \(f(x) = \cos(x)\)
b) \(f(x) = e^x\)
c) \(f(x) = \sin(x) + 3\cos(x)\)
Lösung
a) ableiten: \(f(x)=\cos(x) \quad \Rightarrow f'(x)=-\sin(x) \quad \Rightarrow f''(x)=-\cos(x)\)
eingesetzt: \(-\cos(x) = -\cos(x)\) erfüllt die Gleichung
b) ableiten: \(f(x)=e^x \quad \Rightarrow f'(x)=e^x \quad \Rightarrow f''(x)=e^x\)
eingesetzt: \(e^x \neq -e^x\) erfüllt die Gleichung nicht
c) ableiten:
eingesetzt: \(-\sin(x)-3\cos(x) = -\left(\sin(x)+3\cos(x)\right)\) erfüllt die Gleichung
Wir übernehmen die Begriffe für Gleichungen reeller Zahlen nun für diese neue Art von Gleichungen, die sogenannten Differentialgleichungen.
Was ist … eine Differentialgleichung?
Eine Gleichung, bei der eine Funktion gesucht wird und ihre Ableitungen in der Gleichung ebenfalls vorkommen, nennen wir Differentialgleichung. Oft kürzen wir das Wort Differentialgleichung mit DGL ab.
Video zu “Gewöhnliche Differentialgleichung”
Es gibt viele Schreibweisen für DGL#
So wie Gleichungen für Zahlen mit unterschiedlichen Variablen formuliert werden, werden auch bei Differentialgleichungen unterschiedliche Schreibweisen benutzt. Meistens werden die Bezeichnungen aus dem Anwendungskontext übernommen.
Zunächst einmal können die Bezeichnungen für die Variablen der gesuchten Funktion variieren. In dem obigen Beispiel
wurde als Variablenname \(x\) benutzt. Die Variablen der gesuchten Funktion werden als unabhängige Variablen bezeichnet. Die gesuchte Funktion wird auch als abhängige Variable bezeichnet, obwohl es sich um eine Funktion handelt. Sollte es sich jedoch um eine Funktion in Abhängigkeit einer zeitlichen Größe handeln, würde die DGL wohl eher als
formuliert werden. Bei zeitlichen Ableitungen wird in den Ingenieurwissenschaften auch eher ein Punkt über den Funktionsnamen gesetzt, um anzudeuten, dass eine zeitliche Größe betrachtet wird, also
Auch würde wohl auch eher die gesuchte Funktion mit \(x\) bezeichnet werden, also
Oft finden wir auch die Schreibweise mit dem Differentialoperator und der Bezeichnung \(y\) für die gesuchte Funktion, also
Und da die unabhängige Variable nicht so wichtig ist, weil es bei Differentialgleichungen um die unbekannte Funktion geht, wird sie manchmal weggelassen, also
Alle Schreibweisen – so unterschiedlich sie auch wirken mögen – drücken dieselbe Frage aus: welche Funktion muss zweimal abgeleitet werden, damit sie das Negative von sich selbst ist?
Die Ordnung entscheidet über die Anzahl der Integrationskonstanten#
Als wir verschiedene Funktionen daraufhin überprüft haben, ob sie die Differentialgleichung
erfüllen, haben wir schon festgestellt, dass es mehrere Funktionen geben kann, die passen. Wir schauen uns nun ein etwas einfacheres Beispiel an:
Auf der rechten Seite kommt die gesuchte Funktion \(y(x)\) nicht mehr vor, sondern sie steht nur noch als 2. Ableitung auf der linken Seite der Gleichung. Ein einfacher Ansatz, um die DGL zu lösen ist, auf beiden Seiten unbestimmt zu integrieren. Wir erhalten
Die Integrationskonstante, die eigentlich auch auf der linken Seite entstanden wäre, haben wir dabei schon auf die rechte Seite gebracht. Nun haben wir eine DGL mit der 1. Ableitung der gesuchten Funktion. Wir integrieren einfach noch einmal unbestimmt auf beiden Seiten und bekommen
Die gefundene Funktion \(y(x)=\sin(x)+C_1 x + C_2\) ist nicht nur eine Funktion, sondern eine ganze Schar von Funktionen. Es können zwei verschiedene Parameter \(C_1\) und \(C_2\) gewählt werden. Mathematisch gesehen gibt es bei der Wahl der Parameter keine Einschränkungen; wir könnten jede reelle Zahl wählen. Daher gibt es unendlich viele Lösungen der Differentialgleichung.
Mini-Übung
Überprüfen Sie, ob die folgenden drei Variationen von \(C_1\) und \(C_2\) tatsächlich die DGL
erfüllen.
a) \(C_1 = 1\) und \(C_2 = 0\), also \(y_1(x) = \sin(x) + x\)
b) \(C_1 = 0\) und \(C_2 = 1\), also \(y_2(x) = \sin(x) + 1\)
c) \(C_1 = -2\) und \(C_2 = 3\), also \(y_3(x) = \sin(x) -2x + 3\)
Lösung
Um zu überprüfen, ob die gegebenen Variationen die DGL \(y''(x) = -\sin(x)\) erfüllen, müssen wir die zweite Ableitung jeder Funktion berechnen und überprüfen, ob sie gleich \(-\sin(x)\) ist.
a) \(y_1(x) = \sin(x) + x\)
Da \(y_1''(x) = -\sin(x)\) gilt, erfüllt \(y_1\) die DGL.
b) \(y_2(x) = \sin(x) + 1\)
Da \(y_2''(x) = -\sin(x)\) gilt, erfüllt \(y_2\) ebenfalls die DGL.
c) \(y_3(x) = \sin(x) - 2x + 3\)
Da \(y_3''(x) = -\sin(x)\) gilt, erfüllt auch \(y_3\) die DGL.
Alle drei Funktionen erfüllen die Differentialgleichung \(y''(x) = -\sin(x)\) und sind daher Lösungen der Differentialgleichung.
Durch dieses Beispiel haben wir zwei Sachen kennengelernt, die typisch für Differentialgleichungen sind:
Um die gesuchte Funktion einer Differentialgleichung zu finden, müssen wir integrieren.
Je höher die Ableitung der gesuchten Funktion ist, desto öfter müssen wir integrieren. Und je öfter wir integrieren müssen, desto mehr Integrationskonstanten entstehen.
Der Grad der höchsten Ableitung der gesuchten Funktion ist so wichtig, dass Differentialgleichungen danach eingeteilt werden. Wir halten daher folgende Definition fest.
Was ist … die Ordnung einer Differentialgleichung?
Die höchste vorkommene Ableitung der gesuchten Funktion nennen wir Ordnung der Differentialgleichung.
Video zu “Ordnung einer gewöhnlichen Differentialgleichung”
Gewöhnlich betrachten wir gewöhnliche DGL#
Im Zusammenhang mit Differentialgleichungen werden häufig die beiden Adjektive gewöhnlich und partiell verwendet. Eines vorneweg, in diesem und in den nächsten Kapiteln werden wir nur gewöhnliche Differentialgleichungen betrachten.
Die gesuchte Funktion der Differentialgleichung kann von einer unabhängigen Variable abhängen, also eindimensional sein, aber auch von mehreren unabhängigen Variablen abhängen, also mehrdimensional sein. Dementsprechend können normale Ableitungen in der Differentialgleichung auftreten, wie wir es in den oben stehenden Beispielen gesehen haben, oder partielle Ableitungen.
Eine Differentialgleichung, bei der nur Ableitungen nach einer Variable vorkommen, heißt gewöhnliche Differentialgleichung. Kommen in der Differentialgleichungen Ableitungen nach mehreren unabhängigen Variablen vor, so nennen wir diese Gleichung partielle Differentialgleichung. Hier sehen Sie ein Beispiel für eine partielle DGL, in der Ableitungen nach dem Ort \(x\) und der Zeit \(t\) vorkommen:
Was ist … eine gewöhnliche Differentialgleichung?
Eine Differentialgleichung, bei der die gesuchte Funktion nur von einer unabhängigen Variable abhängt, wird als gewöhnliche Differentialgleichung bezeichnet. Kommen in der Differentialgleichungen Ableitungen nach mehreren unabhängigen Variablen vor, so nennen wir diese Gleichung partielle Differentialgleichung.
Die Beispiele, die wir bisher betrachtet haben, waren so formuliert, dass die höchste Ableitung auf der linken Seite stand und alle anderen Terme auf der rechten Seite der Gleichung. Das muss aber nicht so sein. Eine Differentialgleichung, die nach der höchsten Ableitung aufgelöst ist, nennen wir explizite Differentialgleichung. Ein Beispiel für eine explizite DGL ist
Ist hingegen die DGL nicht nach der höchsten Ableitung aufgelöst, so bezeichnen wir diese als implizite Differentialgleichung. Wir können das Beispiel umformen zu
Es war einfach, die explizite Differentialgleichung in eine implizite Differentialgleichung umzuformen. Leider lässt sich nicht jede implizite Differentialgleichung in eine explizite DGL umformen.
Video zu “Explizite und implizite Differentialgleichungen”
Zusammenfassung und Ausblick#
In diesem Kapitel haben wir die grundlegenden Konzepte von Differentialgleichungen behandelt. Da es sich um eine Einführung zum Thema handelt, haben wir uns zunächst damit beschäftigt, was eine Differentialgleichung ist und welche Schreibweisen es für Differentialgleichungen gibt. Obwohl in dieser Vorlesung nur gewöhnliche Differentialgleichungen thematisiert werden, sind wir auf den Unterschied zwischen gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen eingegangen. Zusätzlich haben wir uns mit der Ordnung einer Differentialgleichung beschäftigt und wie sie die Anzahl der Integrationskonstanten beeinflusst. Im nächsten Kapitel wird es darum gehen, wie aus unendlich vielen Lösungen einer Differentialgleichung eine spezielle Lösung herausgesucht wird.