7.3 Jacobi-Matrix

Der Gradient einer skalarwertigen Funktion entspricht bei vektorwertigen Funktionen der Jacobi-Matrix.

Lernziele

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Sie wissen, wie die Jacobi-Matrix einer vektorwertigen Funktion berechnet wird.

Jacobi-Matrix einer vektorwertigen Funktion

Die Jacobi-Matrix einer vektorwertigen Funktion von mehreren Variablen ist eine Matrix, die analog zum Gradienten alle partiellen Ableitungen erfasst. Da bei einer vektorwertigen Funktion die Funktionswerte selbst Vektoren sind, entsteht bei der Zusammenstellung der partiellen Ableitungen eine Matrix anstelle eines Vektors.

Anleitung zur Berechnung der Jacobi-Matrix:

• Interpretiere die vektorwertige Funktion zeilenweise als skalarwertige Funktion.

• Bilde den Gradienten für jede Zeile.

• Schreibe die Gradienten untereinander in eine Matrix.

Die Jacobi-Matrix ist sozusagen die Erweiterung des Gradienten für vektorwertige Funktion von mehreren Variablen.

Video zu “Jacobi-Matrix” von Mathematische Methoden

Beispiel einer Jacobi-Matrix

Wir schauen uns an dem folgenden Beispiel an, wie die Jacobi-Matrix der vektorwertigen Funktion \(f:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^2\) mit

\[\begin{split}f(x,y,z)=\begin{pmatrix} x^2 + y^3 + \sin(z) \\ z^2\end{pmatrix}\end{split}\]

berechnet wird.

1. Gradient: Die erste Zeile enthält die Funktion \(f_1(x,y,z)=x^2 + y^3 + \sin(z)\) mit dem Gradienten

\[\nabla f_1(x,y,z) = \left(2x , 3y^2, \cos(z)\right).\]

2. Gradient: Die zweite Zeile enthält die Funktion \(f_2(x,y,z)=z^2\) mit dem Gradienten

\[\nabla f_2(x,y,z) = \left(0, 0, 2z\right).\]

Jacobi-Matrix: Aus beiden Zeilen/Gradienten wird dann die Jacobi-Matrix zusammengesetzt und lautet

\[\begin{split}\mathbf{J}_{f}(x,y,z)= \begin{pmatrix} 2x & 3y^2 & \cos(z)\\ 0 & 0 & 2z \end{pmatrix}. \end{split}\]

Sie hat die Dimension \(2\times 3\). Weitere Beispiele finden Sie in den folgenden Videos.

Video zu “Jacobi-Matrix Beispiel 1” von Mathematische Methoden

Video zu “Jacobi-Matrix aufstellen” von Mathematrick

Zusammenfassung und Ausblick

In diesem Kapitel haben wir die Jacobi-Matrix als Verallgemeinerung des Gradienten für vektorwertige Funktionen kennengelernt. Im nächsten Kapitel werden wir sie für die Kettenregel verwenden.