Übungen
Übung 6.1
Berechnen Sie die ersten partiellen Ableitungen.
a) \(f(x,y)=e^{x}\cdot e^{y}\)
b) \(f(x,y)=e^{xy}\)
c) \(f(x,y)=\sin(x)\cos(y)\)
d) \(f(x_1,x_2,x_3) = \frac{1}{2x_1^2+\sqrt{x_2^2+x_3^2}}\)
Lösung
a) \(f(x,y)=e^{x}\cdot e^{y} = e^{x+y}\)
\[\frac{\partial f}{\partial x}=e^{x+y} \quad \text{ und } \quad \frac{\partial f}{\partial y}=e^{x+y}\]
b) \(f(x,y)=e^{xy}\)
\[\frac{\partial f}{\partial x}=y \cdot e^{xy} \quad \text{ und } \quad \frac{\partial f}{\partial y}=x \cdot e^{xy}\]
c) \(f(x,y)=\sin(x)\cos(y)\)
\[\frac{\partial f}{\partial x}=\cos(x)\cos(y) \quad \text{ und } \quad \frac{\partial f}{\partial y}=-\sin(x)\sin(y)\]
d) \(f(x_1,x_2,x_3) = \frac{1}{2x_1^2+\sqrt{x_2^2+x_3^2}}\)
Wir wenden die Kettenregel an:
\[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x_1} &= -\frac{1}{(2x_1^2+\sqrt{x_2^2+x_3^2})^2} \cdot 4x_1 \\
&= -\frac{4x_1}{(2x_1^2+\sqrt{x_2^2+x_3^2})^2}
\end{align*}\]
\[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x_2} &= -\frac{1}{(2x_1^2+\sqrt{x_2^2+x_3^2})^2} \cdot \frac{x_2}{\sqrt{x_2^2+x_3^2}} \\
&= -\frac{x_2}{(2x_1^2+\sqrt{x_2^2+x_3^2})^2 \cdot \sqrt{x_2^2+x_3^2}}
\end{align*}\]
\[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x_3} &= -\frac{1}{(2x_1^2+\sqrt{x_2^2+x_3^2})^2} \cdot \frac{x_3}{\sqrt{x_2^2+x_3^2}} \\
&= -\frac{x_3}{(2x_1^2+\sqrt{x_2^2+x_3^2})^2 \cdot \sqrt{x_2^2+x_3^2}}
\end{align*}\]
Übung 6.2
Berechnen Sie die zweiten partiellen Ableitungen. Verifizieren Sie jeweils
explizit, dass das Ergebnis unabhängig von der Reihenfolge der
Differentiationsschritte ist (Satz von Schwarz).
a) \(f(x,y)=x^3+y^3 + x^2y^2+xy+1\)
b) \(f(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
Lösung
a) \(f(x,y)=x^3+y^3 + x^2y^2+xy+1\)
Schritt 1: Berechnung der ersten partiellen Ableitungen:
\[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x} &= 3x^2+2xy^2+y \\
\frac{\partial f}{\partial y} &= 3y^2+2x^2y+x
\end{align*}\]
Schritt 2: Berechnung der zweiten partiellen Ableitungen:
\[\begin{align*}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} &= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2+2xy^2+y) = 6x + 2y^2 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} &= \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2+2xy^2+y) = 4xy + 1 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} &= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial x}(3y^2+2x^2y+x) = 4xy + 1 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} &= \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial y}(3y^2+2x^2y+x) = 6y + 2x^2
\end{align*}\]
Verifikation des Satzes von Schwarz:
Da \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 4xy + 1\), ist der Satz von Schwarz bestätigt.
b) \(f(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
Schritt 1: Berechnung der ersten partiellen Ableitungen:
\[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x} &= -\frac{1}{(\sqrt{x^2+y^2+z^2})^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(\sqrt{x^2+y^2+z^2}) \\
&= -\frac{1}{x^2+y^2+z^2} \cdot \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-1/2} \cdot 2x \\
&= -\frac{1}{x^2+y^2+z^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\
&= -\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}
\end{align*}\]
Analog berechnen wir:
\[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial y} &= -\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \\
\frac{\partial f}{\partial z} &= -\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}
\end{align*}\]
Schritt 2: Berechnung der zweiten partiellen Ableitungen:
Für die reinen zweiten Ableitungen:
\[\begin{align*}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} &= \frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\right) \\
&= -\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\right) \\
&= -\left[\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} + x \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\right)\right] \\
&= -\left[\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} + x \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)(x^2+y^2+z^2)^{-5/2} \cdot 2x\right] \\
&= -\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} + \frac{3x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}} \\
&= \frac{-1 \cdot (x^2+y^2+z^2) + 3x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}} \\
&= \frac{-x^2-y^2-z^2 + 3x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}} \\
&= \frac{2x^2-y^2-z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}
\end{align*}\]
Durch analoges Vorgehen erhalten wir:
\[\begin{align*}
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} &= \frac{2y^2-x^2-z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} &= \frac{2z^2-x^2-y^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}
\end{align*}\]
Für die gemischten Ableitungen:
\[\begin{align*}
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} &= \frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\right) \\
&= -\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\right) \\
&= -y \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\right) \\
&= -y \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)(x^2+y^2+z^2)^{-5/2} \cdot 2x \\
&= \frac{3xy}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}
\end{align*}\]
Und für die umgekehrte Reihenfolge:
\[\begin{align*}
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} &= \frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\right) \\
&= -\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\right) \\
&= -x \cdot \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\right) \\
&= -x \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)(x^2+y^2+z^2)^{-5/2} \cdot 2y \\
&= \frac{3xy}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}
\end{align*}\]
Die übrigen gemischten Ableitungen ergeben:
\[\begin{align*}
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z} = \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} &= \frac{3xz}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} = \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y} &= \frac{3yz}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}
\end{align*}\]
Verifikation des Satzes von Schwarz:
Wir können beobachten, dass:
\[\begin{align*}
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} &= \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{3xy}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z} &= \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} = \frac{3xz}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} &= \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y} = \frac{3yz}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}
\end{align*}\]
Damit ist der Satz von Schwarz für alle gemischten Ableitungen bestätigt, da die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung unabhängig von der Reihenfolge der Differentiation sind.
Übung 6.3
Berechnen Sie die dritten partiellen Ableitungen. Nutzen Sie aus, dass das
Ergebnis unabhängig von der Reihenfolge der Differentiationsschritte ist
(warum?):
\[f(x,y,z)=x^2y^2z^2+x^3+y^3+z^3.\]
Hinweis: wie viele partielle Ableitungen 3. Ordnung gibt es bei drei Variablen?
Wie viele muss man explizit ausrechnen?
Lösung
Der Satz von Schwarz besagt, dass bei stetigen gemischten partiellen Ableitungen
die Reihenfolge der Differentiation keine Rolle spielt. Unsere Funktion
\(f(x,y,z)=x^2y^2z^2+x^3+y^3+z^3\) ist beliebig oft stetig differenzierbar, daher
gilt der Satz für alle Ableitungen.
Bei drei Variablen \(x\), \(y\) und \(z\) gibt es theoretisch \(3^3 = 27\) mögliche
Kombinationen für die dritten Ableitungen. Aufgrund des Satzes von Schwarz sind
jedoch viele dieser Kombinationen gleichwertig. Es genau 10 Möglichkeiten:
\((3,0,0)\): dreimal nach \(x\) ableiten
\((2,1,0)\): zweimal nach \(x\), einmal nach \(y\)
\((2,0,1)\): zweimal nach \(x\), einmal nach \(z\)
\((1,2,0)\): einmal nach \(x\), zweimal nach \(y\)
\((1,1,1)\): je einmal nach \(x\), \(y\) und \(z\)
\((1,0,2)\): einmal nach \(x\), zweimal nach \(z\)
\((0,3,0)\): dreimal nach \(y\)
\((0,2,1)\): zweimal nach \(y\), einmal nach \(z\)
\((0,1,2)\): einmal nach \(y\), zweimal nach \(z\)
\((0,0,3)\): dreimal nach \(z\)
Schritt 1: Berechnung der ersten partiellen Ableitungen:
\[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x} &= 2xy^2z^2 + 3x^2 \\
\frac{\partial f}{\partial y} &= 2x^2yz^2 + 3y^2 \\
\frac{\partial f}{\partial z} &= 2x^2y^2z + 3z^2 \\
\end{align*}\]
Schritt 2: Berechnung der zweiten partiellen Ableitungen:
\[\begin{align*}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} &= 2y^2z^2 + 6x \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} &= 4xyz^2 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z} &= 4xy^2z \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} &= 2x^2z^2 + 6y \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} &= 4x^2yz \\
\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} &= 2x^2y^2 + 6z \\
\end{align*}\]
Schritt 3: Berechnung der 10 unterschiedlichen dritten partiellen Ableitungen:
Dreimal nach \(x\) ableiten:
\[\begin{align*}
\frac{\partial^3 f}{\partial x^3} &= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right) = \frac{\partial}{\partial x}(2y^2z^2 + 6x) = 6
\end{align*}\]
Zweimal nach \(x\), einmal nach \(y\):
\[\begin{align*}
\frac{\partial^3 f}{\partial y \partial x^2} &= \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right) = \frac{\partial}{\partial y}(2y^2z^2 + 6x) = 4yz^2
\end{align*}\]
Zweimal nach \(x\), einmal nach \(z\):
\[\begin{align*}
\frac{\partial^3 f}{\partial z \partial x^2} &= \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right) = \frac{\partial}{\partial z}(2y^2z^2 + 6x) = 4y^2z
\end{align*}\]
Einmal nach \(x\), zweimal nach \(y\):
\[\begin{align*}
\frac{\partial^3 f}{\partial y^2 \partial x} &= \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial y}(4xyz^2) = 4xz^2
\end{align*}\]
Je einmal nach \(x\), \(y\) und \(z\):
\[\begin{align*}
\frac{\partial^3 f}{\partial z \partial y \partial x} &= \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial z}(4xyz^2) = 8xyz
\end{align*}\]
Einmal nach \(x\), zweimal nach \(z\):
\[\begin{align*}
\frac{\partial^3 f}{\partial z^2 \partial x} &= \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z}\right) = \frac{\partial}{\partial z}(4xy^2z) = 4xy^2
\end{align*}\]
Dreimal nach \(y\) ableiten:
\[\begin{align*}
\frac{\partial^3 f}{\partial y^3} &= \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right) = \frac{\partial}{\partial y}(2x^2z^2 + 6y) = 6
\end{align*}\]
Zweimal nach \(y\), einmal nach \(z\):
\[\begin{align*}
\frac{\partial^3 f}{\partial z \partial y^2} &= \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right) = \frac{\partial}{\partial z}(2x^2z^2 + 6y) = 4x^2z
\end{align*}\]
Einmal nach \(y\), zweimal nach \(z\):
\[\begin{align*}
\frac{\partial^3 f}{\partial z^2 \partial y} &= \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z}\right) = \frac{\partial}{\partial z}(4x^2yz) = 4x^2y
\end{align*}\]
Dreimal nach \(z\) ableiten:
\[\begin{align*}
\frac{\partial^3 f}{\partial z^3} &= \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\right) = \frac{\partial}{\partial z}(2x^2y^2 + 6z) = 6
\end{align*}\]
Zusammenfassung der 10 verschiedenen Werte:
\[\begin{align*}
\frac{\partial^3 f}{\partial x^3} &= 6 \\
\frac{\partial^3 f}{\partial y \partial x^2} &= 4yz^2 \\
\frac{\partial^3 f}{\partial z \partial x^2} &= 4y^2z \\
\frac{\partial^3 f}{\partial y^2 \partial x} &= 4xz^2 \\
\frac{\partial^3 f}{\partial z \partial y \partial x} &= 8xyz \\
\frac{\partial^3 f}{\partial z^2 \partial x} &= 4xy^2 \\
\frac{\partial^3 f}{\partial y^3} &= 6 \\
\frac{\partial^3 f}{\partial z \partial y^2} &= 4x^2z \\
\frac{\partial^3 f}{\partial z^2 \partial y} &= 4x^2y \\
\frac{\partial^3 f}{\partial z^3} &= 6
\end{align*}\]
Gemäß dem Satz von Schwarz haben wir damit alle 27 möglichen partiellen
Ableitungen dritter Ordnung berechnet, die auf diese 10 verschiedenen Werte
zurückgeführt werden können.
Übung 6.4
Berechnen Sie die Hesse-Matrix für die folgenden Funktionen:
a) \(f(x,y) = x^2y + xy^2 - 3x^2 + 2y^2\)
b) \(f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2xz + 3yz\)
c) \(f(x,y) = \sin(xy) + x^2 - y^2\)
Lösung
a) \(f(x,y) = x^2y + xy^2 - 3x^2 + 2y^2\)
Schritt 1: Berechnung der ersten partiellen Ableitungen:
\[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x} &= 2xy + y^2 - 6x \\
\frac{\partial f}{\partial y} &= x^2 + 2xy + 4y
\end{align*}\]
Schritt 2: Berechnung der zweiten partiellen Ableitungen:
\[\begin{align*}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} &= 2y - 6 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} &= 2x + 2y \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} &= 2x + 2y \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} &= 2x + 4
\end{align*}\]
Schritt 3: Aufstellung der Hesse-Matrix:
\[\begin{split}H_f(x,y) =
\begin{pmatrix}
2y - 6 & 2x + 2y \\
2x + 2y & 2x + 4
\end{pmatrix}\end{split}\]
b) \(f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2xz + 3yz\)
Schritt 1: Berechnung der ersten partiellen Ableitungen:
\[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x} &= 2x - 2y - 2z \\
\frac{\partial f}{\partial y} &= 2y - 2x + 3z \\
\frac{\partial f}{\partial z} &= 2z - 2x + 3y
\end{align*}\]
Schritt 2: Berechnung der zweiten partiellen Ableitungen:
\[\begin{align*}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} &= 2 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} &= -2 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z} &= -2 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} &= -2 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} &= 2 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} &= 3 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} &= -2 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y} &= 3 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} &= 2
\end{align*}\]
Schritt 3: Aufstellung der Hesse-Matrix:
\[\begin{split}H_f(x,y,z) =
\begin{pmatrix}
2 & -2 & -2 \\
-2 & 2 & 3 \\
-2 & 3 & 2
\end{pmatrix}\end{split}\]
Beachten Sie, dass diese Hesse-Matrix konstant ist, d.h. sie hängt nicht von den Werten von \(x\), \(y\) und \(z\) ab.
c) \(f(x,y) = \sin(xy) + x^2 - y^2\)
Schritt 1: Berechnung der ersten partiellen Ableitungen:
\[\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x} &= y\cos(xy) + 2x \\
\frac{\partial f}{\partial y} &= x\cos(xy) - 2y
\end{align*}\]
Schritt 2: Berechnung der zweiten partiellen Ableitungen:
\[\begin{align*}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} &= \frac{\partial}{\partial x}(y\cos(xy) + 2x) \\
&= \frac{\partial}{\partial x}(y\cos(xy)) + \frac{\partial}{\partial x}(2x) \\
&= y \cdot \frac{\partial}{\partial x}(\cos(xy)) + 2 \\
&= y \cdot (-\sin(xy)) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(xy) + 2 \\
&= y \cdot (-\sin(xy)) \cdot y + 2 \\
&= -y^2\sin(xy) + 2
\end{align*}\]
\[\begin{align*}
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} &= \frac{\partial}{\partial y}(y\cos(xy) + 2x) \\
&= \frac{\partial}{\partial y}(y\cos(xy)) + \frac{\partial}{\partial y}(2x) \\
&= \cos(xy) + y \cdot \frac{\partial}{\partial y}(\cos(xy)) + 0 \\
&= \cos(xy) + y \cdot (-\sin(xy)) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(xy) \\
&= \cos(xy) + y \cdot (-\sin(xy)) \cdot x \\
&= \cos(xy) - xy\sin(xy)
\end{align*}\]
\[\begin{align*}
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} &= \frac{\partial}{\partial x}(x\cos(xy) - 2y) \\
&= \frac{\partial}{\partial x}(x\cos(xy)) + \frac{\partial}{\partial x}(-2y) \\
&= \cos(xy) + x \cdot \frac{\partial}{\partial x}(\cos(xy)) + 0 \\
&= \cos(xy) + x \cdot (-\sin(xy)) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(xy) \\
&= \cos(xy) + x \cdot (-\sin(xy)) \cdot y \\
&= \cos(xy) - xy\sin(xy)
\end{align*}\]
\[\begin{align*}
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} &= \frac{\partial}{\partial y}(x\cos(xy) - 2y) \\
&= \frac{\partial}{\partial y}(x\cos(xy)) + \frac{\partial}{\partial y}(-2y) \\
&= x \cdot \frac{\partial}{\partial y}(\cos(xy)) - 2 \\
&= x \cdot (-\sin(xy)) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(xy) - 2 \\
&= x \cdot (-\sin(xy)) \cdot x - 2 \\
&= -x^2\sin(xy) - 2
\end{align*}\]
Schritt 3: Aufstellung der Hesse-Matrix:
\[\begin{split}H_f(x,y) =
\begin{pmatrix}
-y^2\sin(xy) + 2 & \cos(xy) - xy\sin(xy) \\
\cos(xy) - xy\sin(xy) & -x^2\sin(xy) - 2
\end{pmatrix}\end{split}\]