9.1 Tangentenfunktionen

Für eindimensionale Funktionen haben wir die Linearisierung und die Annährung einer Funktion durch eine Tangente bereits kennengelernt. Am einfachsten lässt sich die Tangente einer eindimensionalen Funktion berechnen, indem wir das 1. Taylorpolynom im Entwicklungspunkt \(x_0\) berechnen:

\[f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\cdot (x-x_0).\]

Aus der Tangente wird für eine Funktion \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) eine Tangentialebene. Für Funktionen \(f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) mit \(n \geq 3\) wird die Verallgemeinerung der Tangente dann Tangentialhyperebene genannt.

Lernziele

Lernziele

• Sie können die Tangentenfunktion einer Funktion \(f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) aufstellen und damit die Funktion \(f\) linearisieren:

\[T_{1,f}(\vec{x}) = f(\vec{x}_0) + \nabla f(\vec{x}_0) \cdot (\vec{x}-\vec{x}_0).\]

• Sie wissen, dass für \(n=2\) die Tangentenfunktion auch Tangentialebene genannt wird.

• Sie wissen, dass für \(n \geq 3\) die Tangentenfunktion auch Tangentialhyperebene genannt wird.

Was ist eine Tangentenfunktion?

Was ist … eine Tangentenfunktion?

Um eine Tangentenfunktion zu bilden, brauchen wir erst einmal eine skalarwertige Funktion, also \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\). Außerdem brauchen wir einen Entwicklungspunkt \(\vec{x}_0\). Dann wird die folgende Funktion Tangentenfunktion zu \(f\) genannt:

\[T_{1,f}(\vec{x}) = f(\vec{x}_0) + \nabla f(\vec{x}_0) \cdot (\vec{x}-\vec{x}_0).\]

Wenn wir jetzt eine Funktion betrachten, die nur von zwei Variablen abhängt, dann können wir die Tangentenfunktion auch folgendermaßen darstellen:

\[\begin{align*} T_{1,f}(x,y) &= f(x_0,y_0) + \nabla f(x_0,y_0) \cdot \begin{pmatrix} x - x_0 \\ y - y_0 \end{pmatrix} = \\ &= f(x_0,y_0) + \left( \frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}, \frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y} \right) \cdot \begin{pmatrix} x - x_0 \\ y - y_0 \end{pmatrix} = \\ &= f(x_0,y_0) + \frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}(x-x_0) + \frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}(y-y_0). \end{align*}\]

Damit haben wir die Beschreibung einer Ebene. Daher wird die Tangentenfunktion für \(n=2\) auch Tangentialebene genannt. Dieselbe Rechnung können wir auch für \(n=3\) oder größer durchführen. Darauf verzichten wir aber hier.

Das folgende Video fasst Tangentenfunktion noch einmal zusammen.

Video zu “Tangentenfunktion” von Mathematische Methoden

Beispiel zu Tangentialebene

In dem folgenden Video wird ein Beispiel zur Berechnung der Tangentialebene vorgeführt. Dabei wird die Funktion \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definiert als

\[f(x,y) = -x^2 - y^2.\]

Als Entwicklungspunkt wird der Punkt \((-1,-1)\) gewählt. Das Ergebnis ist die Tangentialebene

\[T_{1,f} = 2 + 2x + 2y.\]

Hier wird auf die detaillierte Berechnung der Tangentialebene verzichtet. Bitte schauen Sie sich stattdessen das Video an.

Video zu “Beispiel Tangentenfunktion” von Mathematische Methoden