12.2 Lösung homogene lineare DGL 1. Ordnung

12.2 Lösung homogene lineare DGL 1. Ordnung#

Homogene lineare Differentialgleichungen beschreiben viele natürliche Abklingprozesse wie beispielsweise das Ausschwingen eines Pendels oder den radioaktiven Zerfall. Das Besondere an diesen Gleichungen ist, dass sie sich durch Trennung der Variablen elegant lösen lassen. In diesem Kapitel lernen wir diese Lösungstechnik kennen.

Lernziele#

Lernziel

Sie können eine homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit der Lösungsmethode Trennung der Variablen lösen.

Wie wird eine homogene lineare DGL 1. Ordnung gelöst?#

Betrachten wir eine homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung. Bei homogenen Gleichungen ist die Störfunktion gleich Null. Daher schreiben wir die Differentialgleichung in der Form

\[a_1(x)y' + a_0(x)y = 0.\]

Gegeben sind also zwei Funktionen \(a_1\) und \(a_0\), die nur von der Variable \(x\) abhängen. Gesucht ist die Funktion \(y\).

Diese Gleichung kann auch als eine separable Differentialgleichung betrachtet werden. Dazu stellen wir zunächst nach \(y'\) um und erhalten

\[y'= -\frac{a_0(x) y}{a_1(x)} \quad \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{a_0(x)}{a_1(x)} \, y.\]

Wir trennen die Veränderlichen:

\[\frac{1}{y} \, dy = -\frac{a_0(x)}{a_1(x)} \, dx.\]

Integration der beiden Seiten (mit Integrationskonstante \(c_1\)) ergibt

\[\ln |y| + c_1 = - \int \frac{a_0(x)}{a_1(x)} \, dx.\]

Wir bringen \(c_1\) auf die rechte Seite der Gleichung und lösen nach \(y\) auf:

\[|y(x)| = e^{-\int \frac{a_0(x)}{a_1(x)}\, dx - c_1}.\]

Um die Betragsstriche aufzulösen, unterscheiden wir zwei Fälle:

Ist \(y(x) > 0\), so erhalten wir \(y(x) = e^{-\int \frac{a_0(x)}{a_1(x)} \, dx - c_1}\).
Ist \(y(x) < 0\), so folgt \(y(x) = -e^{-\int \frac{a_0(x)}{a_1(x)} \, dx - c_1}\).

Da sowohl positive als auch negative Werte möglich sind, fassen wir beide Fälle zusammen, indem wir \(C = \pm e^{-c_1}\) setzen. Dabei kann \(C\) eine beliebige reelle Zahl (auch Null) sein. Somit erhalten wir als allgemeine Lösung

\[y(x) = C \, e^{-\int \frac{a_0(x)}{a_1(x)} \, dx}.\]

Wie wird eine homogene lineare DGL 1. Ordnung gelöst?

Die allgemeine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung

\[a_1(x)y' + a_0(x)y = 0\]

wird durch die Trennung der Variablen berechnet und lautet

\[y(x) = C \, e^{-\int \frac{a_0(x)}{a_1(x)} \, dx}.\]

Dabei ist \(C \in \mathbb{R}\) eine beliebige Integrationskonstante.

Beispiele zur Lösung einer homogenen linearen DGL 1. Ordnung#

Beispiel 1: Gegeben ist die homogene lineare DGL 1. Ordnung

\[y'+3y=0,\]

also \(a_1(x)=1\) und \(a_0(x)=3\). Damit ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

\[y(x)=C \cdot e^{-\int \frac{3}{1}\, dx} = C\cdot e^{-3x}.\]

Beispiel 2: Gegeben ist die homogene lineare DGL 1. Ordnung

\[y'+xy=0,\]

also \(a_1(x)=1\) und \(a_0(x)=x\). Damit ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

\[y(x)=C \cdot e^{-\int \frac{x}{1} \, dx} = C\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}.\]

Zusammenfassung und Ausblick#

In diesem Kapitel haben wir gelernt, homogene lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung durch Trennung der Variablen zu lösen. Die Lösung ist stets eine Exponentialfunktion der Form \(y(x) = C \cdot e^{-\int \frac{a_0(x)}{a_1(x)} \, dx}\), die exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall beschreibt. Diese universelle Lösungsstruktur erklärt, warum exponentiell verlaufende Prozesse in Natur und Technik so häufig auftreten. Im nächsten Kapitel wenden wir uns inhomogenen linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung zu.