Übungen

Übung 4.1

Untersuchen Sie die Reihe

\[ \sum_{n=1}^\infty -\frac{4\cdot3^{n+3}}{5^n}\]

auf sowohl mit dem Quotienten- als auch dem Wurzelkriterium auf Konvergenz.

Lösung

Die Reihe ist (absolut) konvergent.

Lösungsweg

Wir definieren \(a_n := -\frac{4\cdot 3^{n+3}}{5^n}\).

Wurzelkriterium:

Zu bestimmen ist der Grenzwert (falls dieser existiert)

\[\begin{align*} r & = \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|} = \lim_{n\rightarrow \infty}{\left(\frac{4\cdot 3^{n+3}}{5^n}\right)}^{1/n}\\ & = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3\cdot {108}^{1/n}}{5} = \frac{3}{5}. \end{align*}\]

Wegen \(r<1\) ist die Reihe (absolut) konvergent.

Quotientenkriterium:

Zu bestimmen ist der Grenzwert (falls dieser existiert)

\[\begin{align*} r & = \lim_{n\rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\rightarrow \infty}3^{n+4}\,\frac{1}{3^{n+3}}\,\frac{1}{5^{n+1}}\,5^n\\ & = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3}{5} =\frac{3}{5}. \end{align*}\]

Wegen \(r<1\) ist die Reihe (absolut) konvergent.

Übung 4.2

Untersuchen Sie die Reihe

\[\sum_{n=1}^\infty 4\frac{6^n}{{11}^{n+4}}\]

sowohl mit dem Quotienten- als auch dem Wurzelkriterium auf Konvergenz.

Lösung

Die Reihe ist (absolut) konvergent.

Lösungsweg

Wir definieren \(a_n := 4\frac{6^n}{{11}^{n+4}}\).

Wurzelkriterium: Zu bestimmen ist der Grenzwert (falls dieser existiert)

\[\begin{align*} r & = \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|} = \lim_{n\rightarrow \infty}{\left(4\frac{6^n}{{11}^{n+4}}\right)}^{1/n}\\ & = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{6\,{\left(\frac{4}{14641}\right)}^{1/n}}{11} = \frac{6}{11}. \end{align*}\]

Wegen \(r<1\) ist die Reihe (absolut) konvergent.

Quotientenkriterium: Zu bestimmen ist der Grenzwert (falls dieser existiert)

\[\begin{align*} r & = \lim_{n\rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{6^{n+1}\,{11}^{n+4}\,\frac{1}{{11}^{n+5}}}{6^n}\\ & = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{6}{11} =\frac{6}{11}. \end{align*}\]

Wegen \(r<1\) ist die Reihe (absolut) konvergent.

Übung 4.3

Untersuchen Sie die Reihe

\[\sum_{n=1}^\infty \frac{\frac{1}{{\left(-8\right)}^{n+2}}\,{10}^{n+4}}{4}\]

sowohl mit dem Quotienten- als auch dem Wurzelkriterium auf Konvergenz.

Lösung

Die Reihe ist divergent.

Lösungsweg

Die Summanden bilden keine Nullfolge, denn

\[\lim_{n\rightarrow \infty} \left| \frac{\frac{1}{{\left(-8\right)}^{n+2}}\,{10}^{n+4}}{4}\right| =\infty \,.\]

Somit divergiert die Reihe. Die Anwendung des Wurzel- sowie des Quotientenkriteriums erübrigt sich.

Übung 4.4

Bestimmen Sie den Konvergenzradius \(r\) der Potenzreihe

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8^n}{n}\cdot(x-2)^n.\]

Untersuchen Sie gegebenenfalls die Konvergenz im Randbereich und geben Sie den Konvergenzbereich an.

Lösung

Konvergenzradius \(r=\frac{1}{8}\) und Konvergenzbereich: \([\frac{15}{8}; \frac{17}{8})\), d.h. \(\frac{15}{8} \leq x < \frac{17}{8}\)

Lösungsweg

Tipp bzw. Quelle der Aufgabe: YouTube MathemaTrick – Konvergenzradius bestimmen

Wir definieren \(a_n := \frac{8^n}{n}\). Nach der Formel von Cauchy-Hadamard (Wurzelkriterium) wird der Konvergenzradius \(r\) berechnet als

\[r = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{\left|a_n\right|}}\]

Wir rechnen zuerst in einer Nebenrechnung

\[\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\left|\frac{8^n}{n}\right|} = \sqrt[n]{\frac{8^n}{n}} = \frac{\sqrt[n]{8^n}}{\sqrt[n]{n}} = \frac{8}{\sqrt[n]{n}}. \]

Eingesetzt in die Wurzel-Formel ist dies

\[r = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{\left|a_n\right|}} = \lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{8} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{\frac{1}{n}}}{8} = \frac{1}{8}.\]

Die Potenzreihe konvergiert absolut im Intervall \((\frac{15}{8}; \frac{17}{8})\). Das Konvergenzverhalten an den Randpunkten muss jedoch gesondert untersucht werden.

Durch das Einsetzen einer der Randpunkte in die Potenzreihe reduziert sich diese auf eine Zahlenreihe. Die Konvergenzfrage lässt sich dann mit einem passenden Konvergenz- oder Divergenzkriterium für Reihen angehen.

Setzt man den linken Randpunkt \(x=\frac{15}{8}\) ein, so erhält man:

\[\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{8^n}{n}\cdot\left(\frac{15}{8}-2\right)^n &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{8^n}{n}\cdot\left(-\frac{1}{8}\right)^n \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{8^n}{n}\cdot \frac{(-1)^n}{8^n} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}. \end{align*}\]

Diese Reihe konvergiert (gegen \(-\ln(2)\)), der linke Randpunkt gehört zum Konvergenzbereich.

Setzt man den rechten Randpunkt \(x=\frac{17}{8}\) ein, so erhält man:

\[\begin{align*} \sum_{n=1}^\infty \frac{8^n}{n}\cdot\left(\frac{17}{8}-2\right)^n &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{8^n}{n}\cdot\left(\frac{1}{8}\right)^n \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{8^n}{n}\cdot\frac{1^n}{8^n} \\ & = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}. \end{align*}\]

Diese Reihe divergiert, der rechte Randpunkt gehört nicht zum Konvergenzbereich.

Antwort: Konvergenzradius \(r=\frac{1}{8}\) und Konvergenzbereich: \([\frac{15}{8}; \frac{17}{8})\), d.h. \(\frac{15}{8} \leq x < \frac{17}{8}\)

Weitere Übungsaufgaben

Für weitere Übungsaufgaben steht Ihnen der MATEX-Übungsaufgaben-Generator zur Verfügung. Wählen Sie bei der Konvergenz von Reihen die Stufe “geometrische Reihe”. Bei der Konvergenz von Potenzreihen sollten Sie das Level “Mit der geometrischen Reihe verwandte Potenzreihen” wählen.

• Aufgaben Konvergenz von Reihen

• Aufgaben Konvergenz von Potenzreihen