1.3 Extremwerte#
Beschreibt eine Funktion einen technischen Prozess oder beispielsweise temperaturabhängige Materialkennwerte, so ist die Information sehr interessant, ob in einem bestimmten Intervall minimale oder maximale Werte angenommen werden. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns daher damit, die Minima oder Maxima einer Funktion zu bestimmen.
Lernziele#
Lernziele
Sie wissen, was das Minimum oder Maximum einer Funktion ist.
Sie können Minima oder Maxima von 2x differenzierbaren Funktionen berechnen.
Minimum und Maximum einer Funktion – was ist das?#
Die Funktion \(f(x) = x^2 -6x + 11\) hat den folgenden Funktionsgraphen.
Fig. 1 Der kleinste Funktionswert (= Minimum) dieser Parabel \(f(x) = x^2 -6x + 11\) ist 2. Er befindet sich an der Stelle \(x = 3\). Der dazugehörige Punkt \((3 | 2)\) ist ein Tiefpunkt.#
Der kleinste Funktionswert \(f(x)\), der vorkommt, ist 2. Es gilt also
Einen solchen kleinsten Wert nennen wir Minimum. Mathematisch wird das folgendermaßen notiert:
Um zu verdeutlichen, dass in diesem Beispiel die 2 sogar für alle reellen Zahlen \(x\in\mathbb{R}\) der kleinste Funktionswert ist, sagt man oft auch globales Minimum. Es könnte aber auch sein, dass dieser Funktionswert nur in einem bestimmten Bereich der kleinste Funktionswert ist. Dazu werden wir noch ein Beispiel betrachten. Wir halten noch fest, dass der Punkt \((3 | 2)\) Tiefpunkt genannt wird.
Als zweites Beispiel betrachten wir die Funktion \(f(x) = \frac{1}{2}x^3 -3x^2 + \frac{9}{2}x+2\). Diese Funktion hat kein globales Minimum, denn es werden Funktionswerte bis \(-\infty\) angenommen. Aber die Funktion hat das lokale Minimum 2 an der Stelle \(x = 3\).
Fig. 2 Der kleinste Funktionswert (= Minimum) der Funktion \(f(x) = \frac{1}{2}x^3 -3x^2 + \frac{9}{2}x+2\) im Intervall \([2,4]\) ist 2. Da sich das Minimum nur auf dieses Intervall bezieht und nicht auf die ganze Definitionsmenge, ist es ein lokales Minimum. Es befindet sich an der Stelle \(x = 3\). Der dazugehörige Punkt \((3 | 2)\) ist ein lokaler Tiefpunkt.#
Was ist … ein Minimum einer Funktion?
Wir betrachten eine reellwertige Funktion \(f\) mit der Definitionsmenge \(D\subseteq\mathbb{R}\), also \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\). Die Funktion \(f\) hat an der Stelle \(x_0\) ein lokales Minimum, wenn es ein Intervall \(I = (a,b)\) gibt, das \(x_0\) enthält, und gleichzeitig die Bedingung
für alle \(x\in (a,b)\) erfüllt ist. Gilt sogar
für alle \(x\in D\), dann hat die Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) ein globales Minimum.
Für das Maximum gilt eine analoge Definition, bei der nur das Ungleichheitszeichen anders ist.
Was ist … ein Maximum einer Funktion?
Wir betrachten eine reellwertige Funktion \(f\) mit der Definitionsmenge \(D\subseteq\mathbb{R}\), also \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\). Die Funktion \(f\) hat an der Stelle \(x_0\) ein lokales Maximum, wenn es ein Intervall \(I = (a,b)\) gibt, das \(x_0\) enthält, und gleichzeitig die Bedingung
für alle \(x\in (a,b)\) erfüllt ist. Gilt sogar
für alle \(x\in D\), dann hat die Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) ein globales Maximum.
Wie finden wir Hoch- und Tiefpunkte?#
Wir betrachten weiterhin das obige Beispiel, die Funktion \(f(x) = \frac{1}{2}x^3 -3x^2 + \frac{9}{2}x+2\). Zeichen wir veschiedene Tangenten ein, so stellen wir fest, dass die Steigung der Tangente im lokalen Hochpunkt (1|4) und im lokalen Tiefpunkt (3|2) jeweils Null ist. Für die Stellen \(x_{\text{HP}} = 1\) und \(x_{\text{TP}} = 3\) gilt also
bzw.
Tatsächlich gilt diese Aussage für alle differenzierbaren Funktionen. Wenn die differenzierbare Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) ein Minimum oder ein Maximum hat, dann gilt
Die Umkehrung dieser Aussage ist allerdings nicht wahr. Wenn die 1. Ableitung einer differenzierbaren Funktion an der Stelle \(x_0\) gleich Null ist, muss sie dort nicht ein Maximum oder ein Minimum haben.
Die Funktion \(f(x)=x^3\) hat die 1. Ableitung \(f'(x)=3x^2\). An der Stelle \(x_0=0\) ist die 1. Ableitung Null, aber \(f\) hat kein Minimum und kein Maximum, auch nicht an dieser Stelle. Der Punkt \((0,0)\) wird Sattelpunkt genannt.
Fig. 3 Die Funktion \(f(x)=x^3\) hat an der Stelle \(x_0 = 0\) kein Minimum und auch kein Maximum, obwohl die Steigung der Tangente an dieser Stelle Null ist, also \(f'(x)=3x^2 \Rightarrow f'(0)=0\) gilt.#
Diese Bedingung ist notwendig, damit überhaupt ein Maximum oder Minimum vorliegen kann. Leider reicht diese Bedingung noch nicht aus. Alle Nullstellen der 1. Ableitung sind mögliche Extrema, es könnten aber auch Sattelpunkte sein.
Daher müssen wir noch zusätzliche Bedingungen überprüfen, bevor wir entscheiden können, ob ein Minimum oder Maximum vorliegt. Die möglichen Extremwerte müssen noch zusätzlich mit der 2. Ableitung geprüft werden:
Die Funktion \(f\) hat an der Stelle \(x_0\) ein Maximum, wenn
die 1. Ableitung an dieser Stelle Null ist, d.h. \(f'(x_0) = 0\) und
die 2. Ableitung an dieser Stelle negativ ist, d.h. \(f''(x_0) < 0\).
Die Funktion \(f\) hat an der Stelle \(x_0\) ein Minimum, wenn
die 1. Ableitung an dieser Stelle Null ist, d.h. \(f'(x_0) = 0\) und
die 2. Ableitung an dieser Stelle positiv ist, d.h. \(f''(x_0) > 0\).
Diese beiden Bedingungen nennt man dann hinreichende Bedingungen.
Achtung: Wenn allerdings die zweite Ableitung Null ist, also \(f''(x_0) = 0\), kann man keine Entscheidung treffen und muss weitere Bedingungen überprüfen. Alternativ gibt es noch das sogenannte Vorzeichenwechselkriterium, das hier nicht weiter ausgeführt wird.
Zusammenfassung und Ausblick#
In diesem Kapitel haben wir uns mit den Begriffen Minimum und Maximum einer Funktion beschäftigt. Ist eine Funktion differenzierbar, so sind die Nullstellen der 1. Ableitung Kandidaten für Extrema. Ob tatsächlich ein Extremum (Minimum oder Maximum) vorliegt, muss einzeln geprüft werden. Für diese Prüfung gibt es mehrere Kriterien, in dieser Vorlesung verwenden wir den Test mit der 2. Ableitung. Im nächsten Kapitel beschäftigen wir uns mit Extrema mit Zusatzbedingung.