6.4 Rechenregeln Fourierreihen

6.4 Rechenregeln Fourierreihen#

Zuletzt betrachten wir noch einige Eigenschaften von Fourierreihen.

Lernziele#

Lernziele

Sie wissen, dass sich bei geraden oder ungeraden Funktionen die Berechnung der Fourierkoeffizienten vereinfacht.
Sie können die Summe zweier Fourierreihen bilden.
Sie können die Ableitung einer Fourierreihe berechnen.

Gerade und ungerade Funktionen#

Wenn die Funktion \(f\), zu der eine Fourierreihe gesucht ist, bestimmte Symmetrieeigenschaften hat, kann sich dadurch die Berechnung der Fourierkoeffizienten vereinfachen.

Ist die Funktion \(f\) gerade, gilt also \(f(t) = f(-t)\), dann fallen alle Terme mit der Sinusfunktion weg (die ja ungerade ist). Also gilt automatisch \(b_k = 0\). Außerdem ist dann auch das Produkt \(f(t)\cdot \cos(k \omega t)\) eine gerade Funktion, da die Kosinusfunktion ebenfalls gerade ist. Wir brauchen nicht von \(-T/2\) bis \(T/2\) integrieren, sondern können auch nur von \(0\) bis \(T/2\) integrieren und das Ergebnis verdoppeln. Damit erhalten wir für gerade Funktionen \(f\) die folgende Fourierreihe:

\[f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos(k \omega t)\]

mit den Fourierkoeffizienten

\[a_k = \frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(t) \cos(k \omega t) \, dt.\]

Für ungerade Funktionen \(f\), also solche für die \(f(t) = -f(-t)\) gilt, fallen die \(a_k\) weg. Es bleibt eine reine Sinusreihe übrig.

\[f(t) = \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin(k \omega t)\]

mit

\[b_k = \frac{4}{T} \int_{0}^{T/2} f(t) \sin(k \omega t) \, dt.\]

Addition#

Wenn zwei Funktionen \(f\) und \(g\) die gleiche Periode \(T\) haben, so hat die Summe der beiden Funktionen ebenfalls wieder die Periode \(T\). Liegen nun für beide Funktionen Fourierreihen vor, so dürfen wir auch einfach die Fourierkoeffizienten addieren, um eine Approximation der Funktion \(f+g\) zu erhalten.

Ableitung#

Wenn eine Funktion \(f\) durch eine Fourierreihe dargestellt wird, also

\[f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \left(a_k \cos(k \omega t) + b_k \sin(k \omega t) \right)\]

gilt, dann ist ihre Ableitung wieder eine Fourierreihe.

\[f'(t) = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\alpha_k \cos(k \omega t) + \beta_k \sin(k \omega t) \right).\]

Allerdings fällt der erste Term \(a_0/2\) weg und die neuen Fourierkoeffizienten \(\alpha_k\) und \(\beta_k\) können mit den Formeln

\[\begin{align*} \alpha_k &= b_k \cdot k \cdot \omega \\ \beta_k &= -a_k \cdot k \cdot \omega \end{align*}\]

berechnet werden.