8.2 Totales Differential

8.2 Totales Differential#

Lernziel#

Lernziel

Sie können das totale Differential einer Funktion von mehreren Variablen berechnen.

Was ist das Differential?#

Bei eindimensionalen Funktionen gilt näherungsweise das 1. Taylorpolynom im Entwicklungspunkt $x_{0}$ :

f (x) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) \cdot (x - x_{0}) .

Wenn wir jetzt wissen wollen, um wieviel sich der Funktionswert $f (x_{0})$ ändert, wenn wir $x_{0}$ um $Δ x$ auf $x_{0} + Δ x$ erhöhen, können wir diese Approximation nutzen.

f (x_{0} + Δ x) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) \cdot ((x_{0} + Δ x) - x_{0}) .

Die Änderung von $f (x_{0})$ auf $f (x_{0} + Δ x)$ ist die Differenz, also

f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) \cdot ((x_{0} + Δ x) - x_{0}) - f (x_{0}) .

Damit bleibt nur noch übrig:

f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) \cdot Δ x .

Dieser Ausdruck wird Differential genannt.

Was ist … das Differential?

Ist eine Funktion $f$ differenzierbar, so wird der Term

f^{'} (x) \cdot Δ x

Differential genannt. Das Differential beschreibt den linearen Anteil der Änderung der Funktion $f$ .

Was ist das totale Differential?#

Da sich die Tangentenfunktion von eindimensionalen Funktionen aud mehrdimensionale Funktionen übertragen lässt, kann auch das Differential auf mehrdimensionale Funktionen übertragen werden. Es wird dann totales Differential genannt.

Was ist … das totale Differential?

Existiert zu einer Funktion $f : R^{n} \to R$ die Tangentenfunktion, so wird

\sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f (\vec{x})}{x_{i}} \cdot Δ x_{i}

totales Differential genannt. Es beschreibt den linearen Anteil wie sich die Funktionswerte $f (\vec{x}$ ändern, wenn sich die Variablen $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ entlang der Koordinatenachsen sum $Δ x_{1}, Δ x_{2}, \dots, Δ x_{n}$ ändern.