8.2 Totales Differential#

Lernziel#

Lernziel

Sie können das totale Differential einer Funktion von mehreren Variablen berechnen.

Was ist das Differential?#

Bei eindimensionalen Funktionen gilt näherungsweise das 1. Taylorpolynom im Entwicklungspunkt x0:

f(x)f(x0)+f(x0)(xx0).

Wenn wir jetzt wissen wollen, um wieviel sich der Funktionswert f(x0) ändert, wenn wir x0 um Δx auf x0+Δx erhöhen, können wir diese Approximation nutzen.

f(x0+Δx)f(x0)+f(x0)((x0+Δx)x0).

Die Änderung von f(x0) auf f(x0+Δx) ist die Differenz, also

f(x0+Δx)f(x0)=f(x0)+f(x0)((x0+Δx)x0)f(x0).

Damit bleibt nur noch übrig:

f(x0+Δx)f(x0)=f(x0)Δx.

Dieser Ausdruck wird Differential genannt.

Was ist … das Differential?

Ist eine Funktion f differenzierbar, so wird der Term

f(x)Δx

Differential genannt. Das Differential beschreibt den linearen Anteil der Änderung der Funktion f.

Was ist das totale Differential?#

Da sich die Tangentenfunktion von eindimensionalen Funktionen aud mehrdimensionale Funktionen übertragen lässt, kann auch das Differential auf mehrdimensionale Funktionen übertragen werden. Es wird dann totales Differential genannt.

Was ist … das totale Differential?

Existiert zu einer Funktion f:RnR die Tangentenfunktion, so wird

i=1nf(x)xiΔxi

totales Differential genannt. Es beschreibt den linearen Anteil wie sich die Funktionswerte f(x ändern, wenn sich die Variablen x1,x2,,xn entlang der Koordinatenachsen sum Δx1,Δx2,,Δxn ändern.

Video zu “Totales Differential” von Mathematrick
Video zu “Totales Differential” von Mathematische Methoden