8.2 Totales Differential

8.2 Totales Differential#

Lernziel#

Lernziel

Sie können das totale Differential einer Funktion von mehreren Variablen berechnen.

Was ist das Differential?#

Bei eindimensionalen Funktionen gilt näherungsweise das 1. Taylorpolynom im Entwicklungspunkt \(x_0\):

\[f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\cdot (x-x_0).\]

Wenn wir jetzt wissen wollen, um wieviel sich der Funktionswert \(f(x_0)\) ändert, wenn wir \(x_0\) um \(\Delta x\) auf \(x_0 + \Delta x\) erhöhen, können wir diese Approximation nutzen.

\[f(x_0 +\Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \left( (x_0+\Delta x) - x_0\right).\]

Die Änderung von \(f(x_0)\) auf \(f(x_0 + \Delta x)\) ist die Differenz, also

\[f(x_0 +\Delta x) - f(x_0) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot \left( (x_0+\Delta x) - x_0\right) - f(x_0).\]

Damit bleibt nur noch übrig:

\[f(x_0 +\Delta x) - f(x_0) = f'(x_0) \cdot \Delta x.\]

Dieser Ausdruck wird Differential genannt.

Was ist … das Differential?

Ist eine Funktion \(f\) differenzierbar, so wird der Term

\[f'(x)\cdot \Delta x\]

Differential genannt. Das Differential beschreibt den linearen Anteil der Änderung der Funktion \(f\).

Was ist das totale Differential?#

Da sich die Tangentenfunktion von eindimensionalen Funktionen auf mehrdimensionale Funktionen übertragen lässt, kann auch das Differential auf mehrdimensionale Funktionen übertragen werden. Es wird dann totales Differential genannt.

Was ist … das totale Differential?

Existiert zu einer Funktion \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) die Tangentenfunktion, so wird

\[\sum_{i=1}^n \frac{\partial f(\vec{x})}{x_i} \cdot \Delta x_i\]

totales Differential genannt. Es beschreibt den linearen Anteil wie sich die Funktionswerte \(f(\vec{x}\) ändern, wenn sich die Variablen \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) entlang der Koordinatenachsen sum \(\Delta x_1, \Delta x_2, \ldots, \Delta x_n\) ändern.