5.1 Berechnung Taylorreihe

5.1 Berechnung Taylorreihe#

Im Kapitel über Potenzreihen haben wir uns bereits mit der Frage beschäftigt, in welchem Intervall eine Potenzreihe eine gegebene Funktion gut approximiert. Was uns aber noch fehlt ist die Frage, wie wir zu solchen Potenzreihen kommen. Daher gibt es in diesem Kapitel eine Anleitung dazu.

Lernziele#

Lernziele

Sie kennen die Formel für ein Taylorpolynom der Ordnung n auswendig:

\[T_n(x) =\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \cdot (x-x_0)^k.\]

Sie kennen die Formel für die Taylorreihe auswendig:

\[T(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k.\]

Taylorpolynom#

Für Funktionen, die genügend oft differenzierbar sind, gibt es ein Kochrezept zur Berechnung der Koeffizienten der dazugehörigen Potenzreihe. Um dieses Kochrezept anzuwenden, beschäftigen wir uns zunächst mit dem sogenannten Taylorpolynom.

Was ist … ein Taylorpolynom?

Ein Taylorpolynom zu einer Funktion \(f\) kann nur gebildet werden, wenn die Funktion \(f\) n-mal stetig differenzierbar ist. Wenn das aber der Fall ist, dann wird noch ein Entwicklungspunkt \(x_0\) gewählt. Das Taylorpolynom \(T_n\) zu \(f\) vom Grad \(n\) am Entwicklungspunkt \(x_0\) ist dann:

\[\begin{align*} T_n(x) &=f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)^1 + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \ldots \\ &=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \cdot (x-x_0)^k. \end{align*}\]

Dabei steht \(k!\) für die Fakultät der Zahl \(k\).

Hier gibt es ein Video, das die Fakultät \(k!\) erklärt.

Kochrezept zur Berechnung von Taylorpolynomen#

Erst einmal folgende Frage beantworten: Bis zu welchem Polynomgrad \(n\) soll die Funktion \(f(x)\) approximiert werden? \(\rightarrow n\) aufschreiben
Die ersten \(n\) Ableitungen der Funktion \(f\) bestimmen, also \(f'(x), f''(x), f'''(x), f^{(iv)}(x), \ldots\).
Die Koeffizienten ausrechnen, indem nun der Entwicklungspunkt \(x_0\) in die Funktion \(f\) und in die Ableitungen eingesetzt wird.
Die Fakultäten ausrechnen.
Alles in die Formel für das Taylorpolynom einsetzen.

Probieren wir das an einem Beispiel aus. Die Funktion \(f(x)=\sin(x)\) soll durch ein Taylorpolynom Grad 3 am Entwicklungspunkt \(x_0=0\) approximiert werden.

Schritt 1: Wir halten fest, der Grad ist 3 (\(n=3\)), d.h. wir brauchen die ersten drei Ableitungen.

Schritt 2: Wir bilden die ersten drei Ableitungen:

\[\begin{align*} f'(x) &= \cos(x) \\ f''(x) &= -\sin(x) \\ f^{(3)}(x) &= -\cos(x) \end{align*}\]

Schritt 3: Wir rechnen die Koeffizienten des Taylorpolynoms aus, indem wir \(x_0 = 0\) in die Funktion und die ersten drei Ableitungen einsetzen:

\[\begin{align*} f(0) &= \sin(0) = 0 \\ f'(0) &= \cos(0) = 1 \\ f''(0) &= - \sin(0) = 0 \\ f^{(3)}(0) &= -\cos(0) = -1 \end{align*}\]

Schritt 4: Die Fakultäten bis 3 werden ausgerechnet:

\[0!=1, \quad 1!=1, \quad 2!=2, \quad 3!=6.\]

Schritt 5: Wir setzen alles in die Formel für das Taylorpolynom ein:

\[\begin{align*} T_3(x) &= f(x_0) + f'(x_0)\cdot (x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}\cdot (x-x_0)^2 + \frac{f^{(3)}(x_0)}{6} \cdot (x-x_0)^3 = \\ &= \sin(0) + 1\cdot (x-0) + \frac{0}{2}\cdot (x-0)^2 + \frac{-1}{6}\cdot (x-0)^3 = \\ &= x - \frac{1}{6}x^3. \end{align*}\]

Am besten das folgende Video gucken :-)

Taylorreihe#

Und was ist nun die Taylorreihe? Ganz einfach, ein Taylorpolynom, das bis Unendlich geht, sieht nur kompliziert aus, wenn man es formal aufschreibt.

Was ist … eine Taylorreihe?

Zu einer Funktion \(f\), die unendlich oft differenzierbar ist, kann die folgende Potenzreihe

\[T(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k\]

gebildet werden. Diese Potenzreihe wird Taylorreihe zu \(f\) am Entwicklungspunkt \(x_ 0\) genannt.