4.3 Potenzreihen

Polynome haben schöne Eigenschaften, vor allem sind sie einfach abzuleiten oder zu integrieren. In der Praxis ist es daher oft sinnvoll, “schwierige” Funktionen durch Polynome zu ersetzen, auch wenn man dafür Fehler macht.

Diese Vorgehensweise wird Approximation genannt, zu deutsch Annäherung. Für Zahlen haben Sie dies schon kennengelernt. Wenn Sie beispielsweise den Flächeninhalt \(A\) eines Kreises mit Radius \(r = 3 \,\text{m}\) berechnen wollen, so gilt \(A = \pi \cdot r^2 = 9\pi\). Da aber \(\pi\) unendlich viele Nachkommastellen hat, legen Sie fest, wie genau die Annäherung an den wahren Flächeninhalt sein soll, indem Sie die Anzahl der Nachkommastellen festlegen. Reichen Ihnen beispielsweise zwei Nachkommastellen, also \(\pi \approx 3.14\), so erhalten Sie \(A = 28.27 \,\text{m}^2\).

In diesem Kapitel geht es um Potenzreihen und die Approximation von Funktionen durch Potenzreihen.

Lernziele

Lernziele

• Sie können erklären, was eine Potenzreihe (im Gegensatz zu einer Reihe) ist.

• Sie können die spezielle Darstellungsform einer Potenzreihe auswendig aufschreiben:

\[p(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k\]

• Sie können die allgemeine Darstellungsform einer Potenzreihe

\[p(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k (x-x_0)^k\]

auswendig aufschreiben und erklären, was ein Entwicklungspunkt \(x_0\) ist.

Potenzreihen sind auch nur Reihen, aber Reihen von Potenzfunktionen

Bisher haben wir Zahlenfolgen aufsummiert und die Folge der Partialsummen als Reihe bezeichnet. Nun summieren wir Potenzfunktionen auf. Zur Erinnerung, Potenzfunktionen (manchmal auch kurz als Potenz bezeichnet) sind die Funktionen

\[1, x^1, x^2, x^3, \ldots.\]

Eine Potenzreihe ist eine Reihe vom Typ

\[p(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3 x^3 + \ldots = \sum_{k=0}^{\infty}a_k x^k.\]

Die reellen Zahlen \(a_0, a_1, a_2, \ldots\) nennt man Koeffizienten der Potenzreihe.

Die Potenzfunktionen \(x, x^2, x^3, \ldots\) gehen alle durch den Punkt \((0,0)\) den Koordinatenursprung. Damit verbunden sind auch spezielle Symmetrieeigenschaften. Beispielsweise sind die Potenzfunktionen \(x, x^3, x^5, x^7, \ldots\) punktsymmetrisch zu \((0,0)\). Und die Potenzfunktionen mit geraden Exponenten \(x^2, x^4, x^6, \ldots\) sind symmetrisch zur y-Achse. Wenn nicht den Koordinatenursprung so im Mittelpunkt stehen soll, sondern beispielsweise der Punkt \((x_0,y_0)\), müssen wir die Potenzfunktionen leicht modifizieren. Durch Additionn von y_0 werden die Potenzfunktionen nach oben (wenn \(y_0 > 0\)) oder unten (wenn \(y_0 < 0\)) verschoben. In der Potenzreihe gibt es schon so einen Summanden, nämlich \(a_0\). Also brauchen wir nur \(a_0=y_0\) setzen, damit nun die Symmetrie/Punktsymmetrie sich auf den Punkt \((0, y_0)\) bezieht.

Als nächstes möchten wir aber die Potenzfunktionen noch so modifizieren, dass die Punktsymmetrie bzw. Symmetrie der Potenzfunktionen sich auf die x-Koordinate \(x_0\) bezieht. Dazu müssen wir von jedem \(x\) den Wert \(x_0\) abziehen und dann die Potenz bilden, also \((x-x_0)^k\) verwenden.

Was ist … eine Potenzreihe?

Eine Potenzreihe ist eine Reihe vom Typ

\[\begin{align*} p(x) &= a_0 + a_1\cdot(x-x_0) + a_2\cdot(x-x_0)^2 + a_3\cdot(x-x_0)^3 + \ldots = \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot (x-x_0)^k. \end{align*}\]

Die reellen Zahlen \(a_0, a_1, a_2, \ldots\) nennt man Koeffizienten der Potenzreihe. Der Punkt \(x_0\) wird Entwicklungspunkt genannt.

Dabei wird der spezielle Punkt \(x_0\) in der Industrie Arbeitspunkt genannt, in der Mathematik sagen wir aber Entwicklungspunkt oder Entwicklungsstelle. Der Wert \(y_0 = a_0\) hat keinen besonderen Namen.

Übrigens: Nur weil die Potenzfunktionen symmetrisch oder punktsymmetrisch zum Entwicklungspunkt sind, heißt das nicht, dass die Summe der Potenzfunktionen irgendeine Symmetrieeigenschaft besitzt.