4.3 Wichtige Potenzreihen

4.3 Wichtige Potenzreihen#

Es gibt einige wichtige Taylorreihen, die in den Ingenieurwissenschaften sehr häufig zur Approximation bestimmter Funktionen verwendet werden. Im Folgenden werden wir uns mit einigen dieser Taylorreihen beschäftigen.

Lernziele#

Lernziele

Sie kennen die wichtigsten Potenz- bzw. Taylorreihen.

Die Exponential- und Logarithmusfunktion#

Die Taylorreihe für die Exponentialfunktion $f (x) = e^{x}$ am Entwicklungspunkt $x_{0} = 0$ ist:

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} .

Der Konvergenzradius ist unendlich, d.h. die Approximation der Exponentialfunktion durch ihre Taylorreihe gilt für alle reellen Zahlen $x \in R$ .

Die Logarithmusfunktion $f (x) = \ln (x)$ ist nur für positive reelle Zahlen $x > 0$ definiert. Daher können wir nicht den üblichen Entwicklungspunkt $x_{0} = 0$ nehmen, sondern nehmen stattdessen $x_{0} = 1$ . Die Taylorreihe lautet dann

\ln (x) = (x - 1) - \frac{(x - 1)^{2}}{2} + \frac{(x - 1)^{3}}{3} - \dots = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{k} (x - 1)^{k} .

Die Taylorreihe der Logarithmusfunktion hat den Konvergenzradius 1, d.h. die Approximation ist nur im Konvergenzbereich $0 < x \leq 2$ gültig.

Die Sinus- und Kosinusfunktion#

Die Taylorreihe der Sinusfunktion $f (x) = \sin (x)$ am Entwicklungspunkt $x_{0} = 0$ lautet:

\sin (x) = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots = \sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{k} \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} .

Der Konvergenzradius ist unendlich, d.h. die Approximation der Sinusfunktion durch ihre Taylorreihe gilt für alle reellen Zahlen $x \in R$ .

Die Kosinusfunktion $f (x) = \cos (x)$ hat die Taylorreihe

\cos (x) = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots = \sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{k} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!} .

Der Konvergenzradius ist unendlich, d.h. die Approximation der Kosinusfunktion durch ihre Taylorreihe gilt für alle reellen Zahlen $x \in R$ .