3.4 Volumen von Rotationskörpern

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit Rotationskörpern. Rotationskörper werden manchmal auch Drehkörper genannt. Ein Rotationskörper ist ein dreidimensionales Objekt, das durch die Rotation einer Fläche um eine Achse erzeugt wird. Der Rotationskörper wird durch die Form der rotierten Fläche sowie die Achse, um die sie gedreht wird, bestimmt.

Lernziele

Lernziele

Sie können das Volumen eines Rotationskörpers berechnen, der dadurch entsteht, dass eine Kurve

• um die x-Achse gedreht wird:

\[V = \pi \int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx,\]

• um die y-Achse gedreht wird:

\[V = \pi \int_{f(a)}^{f(b)} \left(f^{-1}(y) \right)^2 \, dy .\]

Rotation um x-Achse

Die Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers kann durch Integration erfolgen. Die grundlegende Idee ist, dass das Volumen des Rotationskörpers als Summe von dünnen Scheiben, die senkrecht zur Rotationsachse stehen, dargestellt werden kann. Die Berechnung des Volumens erfolgt dann durch Integration der Fläche dieser Scheiben entlang der Rotationsachse.

Konkret betrachten wir nun die Rotation um die x-Achse. Die Fläche, die um die x-Achse gedreht werden soll, soll oben durch die Funktion \(f\), unten durch die x-Achse sowie links durch die Gerade \(x=a\) und rechts durch Gerade \(x=b\) begrenzt werden. Dann wird das Volumen \(V\) des Rotationskörpers mit der Formel

\[V = \pi \int_a^b f(x)^2 \, dx\]

berechnet.

Rotation um y-Achse

Eine Methode zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers, der um die y-Achse gedreht wird, ist die Verwendung der Umkehrfunktion. Wir können die x-Achse als Rotationsachse betrachten, indem wir die Funktion \(f(x)\) durch ihre Umkehrfunktion \(f^{-1}(y)\) ersetzen.

Wenn wir die Funktion \(f(x)\) um die y-Achse drehen, erhalten wir einen Rotationskörper mit der Form des Querschnitts um die y-Achse. Um das Volumen dieses Rotationskörpers zu berechnen, können wir das Volumen der umgedrehten Funktion um die x-Achse berechnen. Das Volumen des Rotationskörpers ist dann das gleiche wie das Volumen des umgedrehten Körpers.

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers, der um die y-Achse gedreht wird, ist gegeben durch:

\[V = \pi \int_c^d (f^{-1}(y))^2 \, dy ,\]

wobei \(c = f(a)\) und \(d = f(b)\) die Grenzen der Integration sind und \(f^{-1}(y)\) die Umkehrfunktion von \(f(x)\) ist.