11.4 Anwendungen Dreifachintegral

11.4 Anwendungen Dreifachintegral#

Nun kommen Anwendungen des Dreifachintegrals.

Lernziele#

Lernziele

Sie können mit einem Dreifachintegral das Volumen \(V\) eines Körpers berechnen

\[V=\iiint_{V}1\,dV.\]

Sie können mit drei Dreifachintegralen den Schwerpunkt \(S(x_S,y_S,z_S)\) eines Körpers berechnen:

\[x_S = \frac{1}{V}\iiint_{V}x\, dV, \qquad y_S = \frac{1}{V}\iiint_{V}y\, dV \qquad \text{und} \quad z_S = \frac{1}{V}\iiint_{V}z\, dV.\]

Volumen berechnen#

Die Berechnung des Volumens eines dreidimensionalen Körpers ist eine der direktesten Anwendungen des Volumenintegrals. Hierbei ist die Funktion, die integriert wird, einfach die Konstante 1. Das Volumen \(V\) eines Körpers ist dann das Integral über den gesamten Körper, d.h.,

\[V = \iiint_{V} 1 \, dV.\]

Berechnung von Masse#

Die Berechnung der Masse eines Körpers mit bekannter Dichte ist eine weitere wichtige Anwendung von Volumenintegralen. Wenn wir die Dichte \(\rho(x, y, z)\) des Körpers an jedem Punkt kennen, können wir die Masse \(M\) des Körpers berechnen, indem wir die Dichte über das gesamte Volumen des Körpers integrieren:

\[M = \iiint_{V} \rho(x, y, z) \, dV.\]

Berechnung des Schwerpunktes#

Die Berechnung des Schwerpunktes \(S(x_S, y_S, z_S)\) eines dreidimensionalen Körpers erfolgt analog zur Berechnung des Schwerpunktes von Flächen, indem das Volumenintegral jeweils über die Funktionen \(x\), \(y\) und \(z\) berechnet wird. Dabei wird vorausgesetzt, dass wir einen homogenen Körper betrachten, dessen Dichte konstant ist.

\[\begin{align*} x_s &= \frac{1}{V} \iiint_{V} x \, dV, \\ y_s &= \frac{1}{V} \iiint_{V} y \, dV, \\ z_s &= \frac{1}{V} \iiint_{V} z \, dV. \\ \end{align*}\]

Das folgende Video geht auf die Bedeutung und Anwendung der Doppel- und Dreifachintegrale ein.