12.4 Exakte Differentialgleichungen

12.4 Exakte Differentialgleichungen#

In diesem Kapitel werden wir uns mit exakten Differentialgleichungen beschäftigen.

Lernziele#

Lernziele

Sie können anhand des Exaktheitskriterium überprüfen, ob eine Differentialgleichung 1. Ordnung der Form

\[p(x, y) + q(x, y) \cdot y' = 0\]

exakt ist.
Sie können eine exakte Differentialgleichung lösen.

Was ist eine exakte Differentialgleichung?#

Bei den exakten Differentialgleichungen handelt es sich um Differentialgleichungen 1. Ordnung. Wenn die Differentialgleichung in die Form

\[p(x, y) + q(x, y) \cdot y' = 0\]

gebracht werden kann und wenn zusätzlich die sogenannte Exaktheitsbedingung

\[\frac{\partial p(x, y)}{\partial y} = \frac{\partial q(x, y)}{\partial x}\]

erfüllt ist, dann wird die Differentialgleichung exakt genannt.

Beispiel einer exakten Differentialgleichung#

Die Differentialgleichung

\[(y - x) + (y+x)\cdot y' = 0\]

ist von 1. Ordnung und lässt sich mit

\[\begin{align*} p(x, y) &= y - x\\ q(x, y) &= y + x \end{align*}\]

in der oben beschriebenen Form schreiben. Als nächstes wird überprüft, ob die Exaktheitsbedingung erfüllt ist.

\[\begin{align*} \frac{\partial p(x, y)}{\partial y} &= \frac{\partial}{\partial y}(y - x) = 1, \\ \frac{\partial q(x, y)}{\partial x} &= \frac{\partial}{\partial x}(y + x) = 1. \end{align*}\]

Beide partielle Ableitungen sind gleich und daher ist die Differentialgleichung exakt.

Wie werden exakte Differentialgleichugnen gelöst?#

Liegt eine exakte Differentialgleichung vor, so wird die Differentialgleichung oft etwas informell mit dem Differentialquotienten \(y'=\frac{dy}{dx}\) folgendermaßen notiert:

\[p(x, y) + q(x, y) \frac{dy}{dx} = 0 \quad \Rightarrow \quad p(x,y) \, dx + q(t, x) \, dy = 0. \]

Das erinnert an das totale Differential. Für die Lösungsidee starten wir mit einer Funktion \(F\), die von zwei Variablen abhängt, nämlich \(x_1\) und \(x_2\), und für die gilt:

\[F(x_1, x_2) = \tilde{c}.\]

Dabei ist \(\tilde{c}\in\mathbb{R}\) eine reelle Konstante.

Nun soll die erste Variable \(x_1\) gleich \(x\) sein, also \(x_1 = x\). Die zweite Variable soll der Funktionswert \(y(x)\) sein, also \(x_2=y(x)\). Damit ist \(F\) eine Funktion, die eigentlich nur von \(x\) abhängt. Einmal direkt und einmal indirekt als verkettete Funktion. Die erste Ableitung nach \(x\) muss mit der mehrdimensionalen Kettenregel berechnet werden:

\[\begin{split}F'(x, y(x)) = \left(\frac{\partial F}{\partial x}, \, \frac{\partial F}{\partial y}\right) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ y' \end{pmatrix} = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} y'.\end{split}\]

Wird die rechte Seite der Gleichung \(F(x_1, x_2) = \tilde{c}\) abgeleitet, ist dies Null. Damit gilt für die erste Ableitung der Funktion \(F(x,y)\)

\[\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} y' = 0.\]

Das ist genau die Form der exakten Differentialgleichung mit

\[\begin{align*} p(x,y) &= \frac{\partial F(x,y)}{\partial x} \\ q(x,y) &= \frac{\partial F(x,y)}{\partial y} \end{align*}\]

Aber wir kommen wir nun auf \(F(x,y)\)?

Wir integrieren die erste Funktion \(p(x,y)\) nach \(dx\). Die dabei entstehende Integrationskonstante kann noch von \(y\) abhängen. Wird nämlich partiell nach \(x\) abgeleitet, so werden Terme mit \(y\) nämlich Null. Deshalb schreiben wir dafür \(C(y)\) und erhalten

\[F(x,y) = \int p(x,t) \, dx + C(y).\]

Jetzt leiten wir diese Funktion partiell nach \(y\) ab. Dabei erhalten wir zum einen die partielle Ableitung des Integrals \(\int p(x,t) \, dx\), zum anderen die Ableitung \(C'(y)\). Das Ergebnis muss \(q(x,y)\) sein. Aus dieser Gleichung wird dann \(C(y)\) durch Integration nach \(y\) bestimmt. Sobald \(F(x,y)\) eindeutig bestimmt ist, wird dann

\[F(x,y) = \tilde{c}\]

gesetzt und nach \(y\) aufgelöst.

Beispiel zur Lösung einer exakten Differentialgleichung#

Wir betrachten erneut die exakte Differentialgleichung

\[(y - x) + (y+x)\cdot y' = 0.\]

Wir haben oben die Exaktheitsbedingung schon nachgerechnet und können daher direkt den Ansatz

\[F(x,y) = \tilde{c}\]

mit

\[\frac{\partial F(x,y)}{\partial x} = y - x\]

verwenden. Durch Integration nach \(x\) erhalten wir

\[F(x,y) = \int p(x,y) \, dx + C(y) = \int (y-x)\, dx + C(y) = yx -\frac{1}{2}x^2 + C(y).\]

Partiell ableiten nach \(y\) und gleichsetzen mit \(q(x,y)=y+x\) liefert

\[x+C'(y) = y+x.\]

Damit erhalten wir

\[C'(y)=y \quad \Rightarrow C(y) = \int y\, dy = \frac{1}{2}y^2 + c_1.\]

Damit ist

\[F(x,y) = yx -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}y^2 + c_1 = \tilde{c}.\]

Wir setzen \(C= \tilde{c} - c_1\) und lösen nach \(y\) auf:

\[\begin{align*} yx -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}y^2 = c \qquad &| \cdot 2 \\ 2yx - x^2 + y^2 = 2c \qquad &| +2x^2 \\ y^2 + 2xy + x^2 = 2c + 2x^2 \qquad & \\ (y+x)^2 = 2c + 2x^2 \qquad & | \sqrt{} \\ y + x = \pm \sqrt{2c + 2x^2} \qquad & | -x \\ y(x) = \pm \sqrt{2c + 2x^2} - x \\ \end{align*}\]

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung \((y - x) + (y+x)\cdot y' = 0\) ist

\[y(x) = \pm \sqrt{2c + 2x^2} - x.\]