Übungen

Übung 10.1

Berechnen Sie das Doppelintegral

\[\int_{x=0}^{x=1}\left(\int_{y=-x}^{y=x} xy+1 \, dy\right) \, dx.\]

Lösung

\[\int_{x=0}^{x=1}\left(\int_{y=-x}^{y=x} xy+1 \, dy\right) \, dx = 1\]

Lösungsweg

\[\begin{align*} \int_{x=0}^{x=1}\left(\int_{y=-x}^{y=x} xy+1 \, dy \right)\, dx &= \int_{x=0}^{x=1} \left[\frac{1}{2}xy^2+y \right]_{y=-x}^{y=x} \, dx = \\ &= \int_{x=0}^{x=1} \left(\frac{1}{2}xx^2+x\right)-\left(\frac{1}{2}x(-x)^2+(-x)\right)\, dx = \\ &= \int_{x=0}^{x=1} 2x\, dx = \\ &= \big[ x^2\big]_{x=0}^{x=1} = 1-0 = 1. \end{align*}\]

Übung 10.2

Berechnen Sie das Doppelintegral

\[\int_{x=0}^{x=2\pi}\left(\int_{y=-\sin(x)-1}^{y=\sin(x)+1} xy+1 \, dy\right) \, dx.\]

Lösung

\[\int_{x=0}^{x=2\pi}\left(\int_{y=-\sin(x)-1}^{y=\sin(x)+1} xy+1 \, dy\right) \, dx = 4\pi\]

Lösungsweg

\[\begin{align*} \int_{x=0}^{x=2\pi}\left(\int_{y=-\sin(x)-1}^{y=\sin(x)+1} xy+1 \, dy\right) \, dx &= \int_{x=0}^{x=2\pi} \left[ \frac{1}{2}xy^2+y\right]_{y=-\sin(x)-1}^{y=\sin(x)+1} \, dx = \\ &= \int_{x=0}^{x=2\pi} \left(\frac{1}{2}x (\sin(x)+1)^2 + (\sin(x)+1) \right) - \left(\frac{1}{2}x (-\sin(x)-1)^2 - \sin(x) -1 \right) \, dx = \\ &= \int_{x=0}^{x=2\pi} 2\sin(x)+2 \, dx = \\ &= 2 \big[-\cos(x)+x \big]_{x=0}^{x=2\pi} = \\ &= 2\left(-\cos(2\pi) + 2\pi \right)-2 \left(-\cos(0)+0 \right) = \\ &= -2 + 4\pi + 2 = 4\pi. \end{align*}\]

Übung 10.3

Berechnen Sie das Doppelintegral

\[\int_{x=0}^{x=2\pi}\left(\int_{y=-\sin(x)-1}^{y=\sin(x)+1} x \, dy\right) \, dx.\]

Lösung

\[\int_{x=0}^{x=2\pi}\left(\int_{y=-\sin(x)-1}^{y=\sin(x)+1} x \, dy \right)\, dx = 4(\pi^2-\pi)\]

Lösungsweg

\[\begin{align*} \int_{x=0}^{x=2\pi}\left(\int_{y=-\sin(x)-1}^{y=\sin(x)+1} x \, dy\right) \, dx &= \int_{x=0}^{x=2\pi} \big[xy \big]_{y=-\sin(x)-1}^{y=\sin(x)+1} \, dx = \\ &= \int_{x=0}^{x=2\pi} \left(x(\sin(x)+1) \right) - \left(x (-\sin(x)-1) \right) \, dx = \\ &= 2 \int_{x=0}^{x=2\pi} x\cdot (\sin(x)+1) \, dx = \\ &= 2 \big[x \cdot(-\cos(x)+x) \big]_{x=0}^{x=2\pi} - 2\int_{x=0}^{x=2\pi} -\cos(x)+x \, dx = \\ &= 2\cdot 2\pi ((-1)+2\pi) + 2\big[\sin(x)\big]_{x=0}^{x=2\pi} - 2 \left[\frac{1}{2}x^2 \right]_{x=0}^{x=2\pi} = \\ &= -4\pi + 8\pi^2 + (0-0) - 4\pi^2 = \\ &= 4\pi^2-4\pi. \end{align*}\]

Übung 10.4

Berechnen Sie das Doppelintegral

\[\int_{x=0}^{x=1}\left(\int_{y=0}^{y=x} \sqrt{xy} \, dy\right) \, dx.\]

Lösung

\[\int_{x=0}^{x=1}\left(\int_{y=0}^{y=x} \sqrt{xy} \, dy \right) \, dx = \frac{2}{9}\]

Lösungsweg

\[\begin{align*} \int_{x=0}^{x=1}\left(\int_{y=0}^{y=x} \sqrt{xy} \, dy \right) \, dx &= \int_{x=0}^{x=1} \left[ \sqrt{x}\frac{2}{3}y^{\frac{3}{2}}\right]_{y=0}^{y=x} \, dx = \\ &= \int_{x=0}^{x=1} \frac{2}{3}x^2 \, dx = \\ &= \left[\frac{2}{9}x^3 \right]_{x=0}^{x=1} = \\ &= \frac{2}{9}. \end{align*}\]

Übung 10.5

Berechnen Sie das Doppelintegral

\[\int_{x=0}^{x=2\pi}\left(\int_{y=x(x-\pi)^2(x-2\pi)}^{y=\sin(x)^2} 1 \, dy \right)\, dx.\]

Lösung

\[\int_{x=0}^{x=2\pi}\left(\int_{y=x(x-\pi)^2(x-2\pi)}^{y=\sin(x)^2} 1 \, dy \right)\, dx = \pi + \frac{4}{15}\pi^5\]

Lösungsweg

\[\begin{align*} \int_{x=0}^{x=2\pi}\left(\int_{y=x(x-\pi)^2(x-2\pi)}^{y=\sin(x)^2} 1 \, dy \right)\, dx &= \int_{x=0}^{x=2\pi} \big[ y \big]_{y=x(x-\pi)^2(x-2\pi)}^{y=\sin^2(x)} \, dx = \\ &= \int_{x=0}^{x=2\pi} \sin^2(x) - x (x-\pi)^2 (x-2\pi) \, dx \end{align*}\]

Nebenrechnung für den zweiten Integranden:

\[\begin{align*} x (x-\pi)^2 (x-2\pi) &= (x^2-2\pi x + \pi^2)\cdot (x^2-2\pi x) = \\ &= x^4 -2\pi x^3 + \pi^2 x^2 - 2\pi x^3 + 4\pi^2x^2 - 2\pi^3x = \\ &= x^4 - 4\pi x^3 + 5\pi^2 x^2 - 2\pi^3 x \end{align*}\]

Eingesetzt in das obige Integral gilt dann zusammen mit dem Trick \(\sin^2(x) =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)\) (Additionstheorem bzw. Doppelwinkelfunktion)

\[\begin{align*} \int_{x=0}^{x=2\pi}\left(\int_{y=x(x-\pi)^2(x-2\pi)}^{y=\sin(x)^2} 1 \, dy \right)\, dx &= \int_{x=0}^{x=2\pi} \sin^2(x) \, dx - \int_{x=0}^{x=2\pi} x^4 - 4\pi x^3 + 5\pi^2 x^2 - 2\pi^3x \, dx = \\ &= \frac{1}{2} \left[x-\frac{1}{2}\sin(2x)) \right]_{x=0}^{x=2\pi} - \left[\frac{1}{5}x^5 - \pi x^4 + \frac{5}{3}\pi^2x^3 - \pi^3 x^2 \right]_{x=0}^{x=2\pi} = \\ &= \frac{1}{2}2\pi - \left(\frac{1}{5}(2\pi)^5 - \pi(2\pi)^4 + \frac{5}{3}\pi^2(2\pi)^3 - \pi^3 (2\pi)^2 \right) = \\ &= \pi - \frac{4}{15}\pi^5. \end{align*}\]

Übung 10.6

Berechnen Sie den Schwerpunkt der Fläche eines Dreiecks mit den Koordinaten \((1,0)\), \((0,1)\) und \((-1,0)\). Machen Sie sich dazu eine Skizze des Integrationsgebietes.

Lösung

Schwerpunkt \(S(0, \frac{1}{3})\)

Lösungsweg

Zuerst fertigen wir eine Zeichnung an.

Die x-Koordinate des Schwerpunkts ist Null, weil das Dreieck symmetrisch zur y-Achse ist. Diese Symmetrie nutzen wir auch aus, um die y-Koordinate des Schwerpunkts zu berechnen. Anstatt das Integral von \(x=-1\) bis \(x=1\) zu berechnen und dabei zwei verschiedene Randfunktionen betrachten zu müssen, betrachten wir nur die rechte Hälfte des Dreiecks. Der Schwerpunkt der rechten Hälfte in y-Richtung muss gleich dem Schwerpunkt des gesamten Dreiecks in y-Richtung sein.

Die Formel zur Berechnung der y-Koordinate des Schwerpunkts lautet also

\[y_S = \frac{1}{A} \int_{x=0}^{x=1} \left( \int_{y=0}^{y=-x+1} y \, dy \right) \, dx.\]

Zuerst berechnen wir \(A\) mit der Formel \(A = \frac{1}{2} g h\) mit der Grundseite \(g\) und der Höhe \(h\). Aus der Zeichnung lesen wir ab: \(g = 1\) und \(h=1\). Also ist der Flächeninhalt des rechten Dreiecks

\[A=\frac{1}{2}.\]

Alternativ hätten wir auch den Flächeninhalt mit einem Doppelintegral berechnen können. Das innere Integral \(I(x)\) ist

\[\begin{align*} I(x) &= \int_{y=0}^{y=-x+1} y \, dy = \\ &= \left[ \frac{1}{2}y^2 \right]_{y=0}^{y=-x+1} = \\ &= \frac{1}{2} (-x+1)^2 = \\ &= \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2}. \end{align*}\]

Eingesetzt in das äußere Integral erhalten wir

\[\begin{align*} \int_{x=0}^{x=1} \left( \int_{y=0}^{y=-x+1} y \, dy \right) \, dx &= \int_{x=0}^{x=1} \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} \, dx = \\ &= \left[\frac{1}{6} x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} x \right]_{x=0}^{x=1} = \\ &= \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}. \end{align*}\]

Alles zusammengesetzt ist also die y-Koordinate des Schwerpunkts

\[\begin{align*} y_S &= \frac{1}{A}\int_{x=0}^{x=1} \left( \int_{y=0}^{y=-x+1} y \, dy \right) \, dx = \\ &= \frac{1}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3}. \end{align*}\]

Damit ist der Schwerpunkt des Dreiecks \(S(0, \frac{1}{3})\).

Übung 10.7

Berechnen Sie den Schwerpunkt der Fläche, die durch die beiden Kurven \(f(x)=x^2-4x-1\) und \(g(x)=2x-6\) eingeschlossen wird. Machen Sie sich dazu eine Skizze des Integrationsgebietes.

Lösung

Schwerpunkt \(S(3, -\frac{8}{5})\)

Lösungsweg

Zuerst fertigen wir eine Zeichnung an:

Als erstes werden die Schnittstellen berechnet:

\[f_o(x) = f_u(x) \quad \Rightarrow \mathbb{L} = \{1,5\}.\]

Danach wird der Flächeninhalt \(A\) berechnet:

\[\begin{align*} A &= \int_{x=1}^{x=5} \left( \int_{y=x^2-4x-1}^{y=2x-6} 1 \, dy\right) \, dx = \\ &= \int_{x=1}^{x=5} \big[ y \big]_{y=x^2-4x-1}^{y=2x-6} \, dx = \\ &= \int_{x=1}^{x=5} -x^2+6x-5 \, dx = \\ &= \left[-\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 5x \right]_{x=1}^{x=5} = \\ & = \frac{32}{3} \\ \end{align*}\]

Als nächstes wird die x-Koordinate des Schwerpunkts berechnet:

\[\begin{align*} x_S &= \frac{1}{A} \int_{x=1}^{x=5} \left(\int_{y=x^2-4x-1}^{y=2x-6} x \, dy \right) \, dx = \\ &= \frac{3}{32} \int_{x=1}^{x=5} \left[ xy \right]_{y=x^2-4x-1}^{y=2x-6} \, dx = \\ &= \frac{3}{32} \int_{x=1}^{x=5} -x^3+6x^2-5x \, dx = \\ &= \frac{3}{32} \left[-\frac{1}{4}x^4+2x^3-\frac{5}{2}x^2\right]_{x=1}^{x=5} = \\ &= \frac{3}{32} \cdot 32 = 3. \end{align*}\]

Und nun noch die y-Koordinate des Schwerpunktes:

\[\begin{align*} y_S &= \frac{1}{A} \int_{x=1}^{x=5} \left( \int_{y=x^2-4x-1}^{y=2x-6} y \, dy \right) \, dx = \\ &= \frac{3}{32} \int_{x=1}^{x=5} \left[ \frac{1}{2}y^2 \right]_{y=x^2-4x-1}^{y=2x-6} \, dx = \\ &= \frac{3}{32} \int_{x=1}^{x=5} -\frac{1}{2} x^4 + 4x^3 - 5x^2 - 16x + \frac{35}{2} \, dx = \\ &= \frac{3}{32} \left[-\frac{1}{10}x^5 + x^4 - \frac{5}{3}x^3-8x^2+\frac{35}{2}x \right]_{x=1}^{x=5} = \\ &= \frac{3}{32} \cdot \left( -\frac{256}{15}\right) = -\frac{8}{5} = -1.6. \end{align*}\]