11.2 Doppelintegral in Polarkoordinaten#
Im letzten Kapitel haben wir Punkte durch kartesische Koordinaten und durch Polarkoordinaten beschrieben. In diesem Kapitel wird das Flächenintegral in zwei Integrale mit Polarkoordinaten umgeschrieben und dadurch berechnet.
Lernziele#
Lernziele
Sie können ein Doppelintegral in kartesischen Koordinaten in ein Doppelintegral in Polarkoordinaten umrechnen, d.h.
Die Integration erfolgt dabei in zwei Schritten, zuerst kommt die innere Integration über \(r\), danach die äußere Integration über \(\varphi\).
Doppelintegral in Polarkoordinaten#
Um ein Doppelintegral in kartesischen Koordinaten zu berechnen, werden als versucht, die Ränder des Integrationsgebietes mit dem folgenden Schema zu beschreiben. Für x wird ein Intervall \([a,b]\) genommen und für y wird der obere Rand des Integrationsgebietes durch eine obere Funktion \(f_{\text{oben}}(x)\) und der untere Rand durch eine untere Funktion \(f_{\text{unten}}(x)\) beschrieben. Soll das Doppelintegral in Polarkoordinaten ausgedrückt werden, wird für den Winkel \(\varphi\) ein Intervall von Winkeln \([\alpha, \beta]\) genommen und für \(r\) wird der äußere Rand des Integrationsgebietes durch die äußere Funktion \(f_{\text{außen}}(\varphi)\) und der innere Rand durch eine innere Funktion \(f_{\text{innen}}(\varphi)\) beschrieben. Es gibt nur einen Unterschied. Bei kartesischen Koordinaten wird dann das Flächenelement \(dA\) zum Produkt aus den Linienelementen \(dy\) und \(dx\), also
Bei Polarkoordinaten jedoch muss das Flächenelement \(dA\) noch mit \(r\) multipliziert werden, also
Damit erhalten wir das Doppelintegral in Polarkoordinaten als
In dem folgenden Video wird sehr ausführlich der Flächeninhalt eines Halbkreises sowohl mit einem Doppelintegral in kartesischen Koordinaten als auch einem Doppelintegral in Polarkoordinaten erklärt. Nicht verwirren lassen, in dem Video wird das Doppelintegral Bereichsintegral genannt.