9.4 Extremwertprobleme mit Nebenbedingung#
Im letzten Abschnitt haben wir uns mit Extremwerten einer mehrdimensionalen Funktion beschäftigt. An die Variablen haben wir aber keinerlei Bedingungen gestellt. In der Praxis kommt es aber oft vor, dass Einschränkungen an die Variablen selbst gestellt werden. Diese werden oft als eine zusätzliche Gleichung formuliert. In diesem Kapitel lernen wir eine Lösungsmethoden kennen.
Lernziele#
Lernziele
Sie wissen, was ein Extremwertproblem mit Nebenbedingung ist.
Sie wissen, was eine Zielfunktion ist.
Sie können ein Extremwertproblem mit Nebenbedingung durch die Eliminationsmethode lösen.
Was sind Extremwertprobleme mit Nebenbedingung?#
Eine Funktion zu maximieren oder zu minimieren ohne weitere Einschränkung ist in der Praxis oft unrealistisch. Natürlich würde jeder gerne reich sein und das Einkommen maximieren. Aber ist man auch bereit, die notwendigen Überstunden zu leisten oder für einen besser bezahlten Job umzuziehen?
Wir betrachten ein Beispiel aus der Geometrie. Ein Draht der Länge l = 1 m soll zu einem Rechteck gebogen werden. Wie müssen die Seitenlängen \(x\) und \(y\) gewählt werden, damit der Flächeninhalt des Rechtecks maximal ist?
Als erstes übersetzen wir die Angaben in eine Funktion und eine Gleichung. Das Ziel ist ein maximaler Flächeninhalt. Wir bezeichnen den Flächeninhalt mit \(A\). Er berechnet sich mit der Formel
Die Funktion \(A\) wird Zielfunktion genannt. Sie hängt von zwei Variablen ab. Würden wir jetzt ohne weitere Einschränkungen das Maximum dieser Funktion suchen, so müssten wir die Seitenlängen \(x\) und \(y\) unendlich groß wählen. Ein Minimum liegt offensichtich vor, wenn \(x = 0\) und \(y = 0\). Aber das Minimum ist ja nicht gesucht.
Erst durch die Nebenbedingung, dass die Länge des Drahtes 1 m ist, ist die Suche nach einem Maximum sinnvoll. Diese Nebenbedingung formulieren wir als Gleichung, indem wir den Umfang des Rechtecks gleich der Länge des Drahtes setzen:
Streng genommen haben wir damit den Definitionsbereich der Funktion \(A\) eingeschränkt. Das folgende Video erläutert nochmal, was ein Extremwertproblem mit Nebenbedingungen ist.
Video zu “Extrema mit Nebenbedingungen” von Mathematische Methoden
Eliminationsmethode#
Für die Lösung von Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen gibt es mehrere Strategien. Im Folgenden betrachten wir die sogenannte Eliminationsmethode. Gehen Sie wie folgt vor, wenn Sie ein Extremwertproblem mit Nebenbedingungen lösen wollen.
Formulieren Sie die Zielfunktion als Funktion von mehreren Variablen.
Formulieren Sie die Nebenbedingung als Gleichung.
Lösen Sie die Gleichung nach einer Variable auf.
Setzen Sie die aufgelöste Gleichung in die Zielfunktion ein.
Jetzt hängt die Zielfunktion von einer Variable weniger ab und die Gleichung braucht nicht mehr berücksichtigt werden (sie ist ja indirekt jetzt in der Zielfunktion enthalten0.
Bestimmen Sie die Extremwerte ohne Nebenbedingung.
Beantworten Sie mit diesen Erkenntnissen die ursprüngliche Frage.
Schritt 1 und 2 haben wir für das Beispiel mit dem Draht schon durchgeführt. Also lösen wir jetzt die Gleichung \(2\cdot x + 2 \cdot y = 1\) nach \(y\) auf:
und setzen die nach \(y\) aufgelöste Gleichung in die Zielfunktion ein:
Um deutlich zu machen, dass diese neue Funktion nur noch von \(x\) abhängt, haben wir ihr einen neuen Namen gegeben, nämlich \(\tilde{A}\). Jetzt vereinfachen wir die Funktion noch, indem wir ausmultiplizieren:
Als letztes folgt Schritt 6, die Bestimmung der Extremwerte. Dazu bilden wir die erste Ableitung
Für die Suche nach Kandidaten für Extremstellen setzen wir \(\tilde{A}'(x) = 0\) und bestimmen die Nullstellen:
Als nächstes überprüfen wir, ob \(x = \frac{1}{4}\) wirklich ein Extremum ist, indem wir die 2. Ableitung bilden
und dann den Punkt \(x = \frac{1}{4}\) einsetzen:
Da die 2. Ableitung an der Stelle \(x = \frac{1}{4}\) negativ ist, können wir schlussfolgern, dass \(x = \frac{1}{4}\) eine Extremstelle ist und dass es sich dabei um ein Maximum (Hochpunkt) handelt.
Damit haben wir die erste Seitenlänge \(x\) gefunden. Jetzt fehlt noch Schritt 7, die Beantwortung der ursprünglichen Frage. Es war ja nach den beiden Seitenlängen gefragt. Aus der Nebenbedingung
erhalten wir aber für \(x = \frac{1}{4}\) sofort, dass \(y=\frac{1}{4}\) gelten muss.
Das vom Flächeninhalt her maximale Rechteckt mit einer Drahtlänge von 1 m entsteht, wenn der Draht zu einem Quadrat gebogen wird, bei dem jede Seite eine Länge von 0.25 m hat.
Das folgende Video zeigt die Eliminationsmethode.
Video zu “Eliminationsmethode” von Mathematische Methoden
In dem folgenden Video werden mögliche Kandidaten für Extrema gesucht. Es wird allerdings nicht überprüft, ob die Kandidaten wirklich Extremwerte sind.
Video zu “Beispiel Eliminationsmethode” von Mathematische Methoden
Ein weiteres Beispiel wird in dem folgenden Video gezeigt.