4.2 Konvergenzkriterien für Reihen

4.2 Konvergenzkriterien für Reihen#

In Kapitel 3.1 Reihen haben wir uns mit Reihen beschäftigt und die Eigenschaften konvergent und divergent eingeführt. In diesem Kapitel geht es darum rechnerisch zu bestimmen, ob eine Reihe konvergent oder divergent ist. Dazu lernen wir verschiedene Kriterien kennen.

Lernziele#

Lernziele

Sie können das Nullfolgen-Kriterium anwenden, um zu überprüfen, ob es überhaupt möglich ist, dass die Reihe konvergiert.
Sie können mit den Konvergenzkriterien überprüfen, ob eine Reihe konvergiert, indem Sie die folgenden Kriterien anwenden können:
- Quotientenkriterium oder
- Wurzelkriterium.
Sie können den Fachbegriff absolut konvergente Reihe erklären.

Das Nullfolgen-Kriterium#

Manchmal ist es einfacher zu beschreiben, was ein Gegenstand nicht ist. Eine notwendige (aber nicht hinreichende) Bedingung für die Konvergenz einer Reihe ist, dass die ursprüngliche Folge \((a_k)\) eine Nullfolge ist, d.h. \(\lim_{k\to\infty} a_k = 0\). Wenn dieser Grenzwert nicht Null ist oder nicht existiert, divergiert die Reihe.

Was heißt notwendig, aber nicht hinreichend??? Was ist das überhaupt für eine umständliche Formulierung?

Die Formulierung, “etwas ist notwendig, aber nicht hinreichend” kommt in der Mathematik öfters vor. Damit ist gemeint, dass eine Bedingung erfüllt sein muss, damit etwas anderes passiert oder stimmt. Aber alleine reicht diese Bedingung nicht aus, um sicherzustellen, dass das andere tatsächlich passiert oder stimmt.

Ein Beispiel aus dem Alltag: Angenommen, jemand möchte ein Auto fahren. Eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für das Fahren eines Autos ist, dass die Person einen gültigen Führerschein besitzt. Der Führerschein ist notwendig, weil er gesetzlich vorgeschrieben ist, um ein Auto fahren zu dürfen. Er ist jedoch nicht hinreichend, weil es noch weitere Faktoren gibt, die erforderlich sind, um tatsächlich Auto fahren zu können, wie zum Beispiel das Vorhandensein eines funktionierenden Autos oder für eine konkrete Autofahrt eine angemessene körperliche und geistige Verfassung.

In diesem Beispiel ist der Führerschein eine notwendige Bedingung, weil man ohne ihn grundsätzlich nicht Auto fahren darf. Er ist jedoch nicht hinreichend, da das Vorliegen eines Führerscheins allein noch nicht garantiert, dass jemand tatsächlich ein Auto fahren kann oder darf.

Zurück zum Nullfolgen-Kriterium. Die Bedingung, dass die Folge \((a_k)\) eine Nullfolge ist, ist notwendig, damit die dazugehörige Reihe konvergieren kann (= Besitz eines Führerscheins). Aber nur weil die Folge \((a_k)\) eine Nullfolge ist, heißt es noch lange nicht, dass die Reihe konvergiert, weil vielleicht andere Bedingungen nicht erfüllt sind (= Autofahrer hat Akohol getrunken). Es ist also nicht hinreichend.

Zuerst wirkt diese Aussage nicht besonders bedeutend. Aber wir können trotzdem zwei bedeutsame Schlussfolgen daraus ziehen:

Nullfolgen-Kriterium

Wenn die Folge der Summanden \((a_k)\) keine Nullfolge ist, dann ist die dazugehörige Reihe auf jeden Fall divergent.
Wenn eine Reihe konvergiert, dann muss die zugrundeliegende Folge \((a_k)\) der Summanden eine Nullfolge sein.

In dem folgenden Video wird die Konvergenz von Reihen nochmal erläutert und einige Beispiele für konvergente oder divergente Reihen gegeben.

Das Quotienten-Kriterium und das Wurzel-Kriterium#

Das Quotienten-Kriterium ist ein nützliches Konvergenzkriterium für Reihen, bei denen die Summanden einen Bruch oder eine Potenz enthalten. Es kann uns helfen, schnell herauszufinden, ob eine solche Reihe konvergiert oder divergiert, ohne zuerst komplexere Techniken oder Kriterien anzuwenden.

Quotienten-Kriterium

Das Quotienten-Kriterium besagt, dass eine Reihe \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) konvergiert, wenn der Grenzwert

\[r = \lim_{k\to\infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right|\]

existiert und kleiner als 1 ist. Gilt \(r > 1\), so divergiert die Reihe. Gilt \(r = 1\), so versagt das Kriterium und ein anderes Kriterium muss benutzt werden.

Übrigens: Für \(r < 1\) ist die Reihe sogar absolut konvergent.

Den Begriff absolute Konvergenz hatten wir bisher nicht. Absolute Konvergenz ist mehr als Konvergenz. Nicht nur die Reihe \((s_n)\) mit

\[s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\]

konvergiert, sogar die Reihe, bei der die Summanden stets positiv sind, weil der Betrag gebildet wird, also

\[s_n = \sum_{k=1}^{n} \left| a_k \right|\]

konvergiert. Das wird dann absolute Konvergenz genannt.

Ein Beispiel für die Anwendung des Quotienten-Kriteriums ist die folgende Reihe:

\[\sum_{k=1}^{n}\frac{2^k}{k!}.\]

Um das Quotienten-Kriterium anzuwenden, betrachten wir den Bruch der aufeinanderfolgenden Glieder:

\[\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \frac{\frac{2^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac{2^k}{k!}} = \frac{2^{k+1}k!}{2^k(k+1)!} = \frac{2}{k+1}.\]

Da \(r = \lim_{k \to \infty} \frac{2}{k+1} = 0 < 1\), konvergiert die Reihe \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k!}\) nach dem Quotienten-Kriterium.

Das Wurzel-Kriterium ist ein weiteres Konvergenzkriterium für Reihen, das besonders hilfreich ist, wenn die Summanden Potenzen oder Exponentialfunktionen enthalten. Es ermöglicht uns, schnell festzustellen, ob eine solche Reihe konvergiert oder divergiert, ohne zunächst komplexere Techniken oder Kriterien anwenden zu müssen.

Wurzel-Kriterium

Das Wurzel-Kriterium besagt, dass eine Reihe \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) konvergiert, wenn der Grenzwert

\[r = \lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{|a_k|}\]

existiert und kleiner als 1 ist. Gilt \(r > 1\), so divergiert die Reihe. Gilt \(r = 1\), so versagt das Kriterium und ein anderes Kriterium muss benutzt werden.

Übrigens: Für \(r < 1\) ist die Reihe sogar absolut konvergent, genau wie beim Quotienten-Kriterium.

Als Beispiel betrachten wir die Reihe \((s_n)\) mit

\[s_n = \sum_{k=1}^{n} \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot 4^{-k-2} \cdot 2^{k+4}.\]

Wir wenden das Wurzel-Kriterium an:

\[\begin{align*} r & = \lim_{k\rightarrow \infty}\sqrt[k]{\left|a_k\right|} = \\ & = \lim_{k\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{4} \cdot 4^{-k-2} 2^{k+4}\right)^{\left(\frac{1}{k} \right)} = \\ & = \lim_{k\rightarrow \infty} \left(4^{-k - 3} 2^{k + 4}\right)^{\left(\frac{1}{k}\right)} = \\ & = \frac{1}{2} . \end{align*}\]

Wegen \(r = \frac{1}{2} <1\) ist die Reihe (absolut) konvergent.

Ausblick#

Tatsächlich gibt es noch einige Kriterien mehr, um die Konvergenz einer Reihe zu bestimmen. Die bekanntesten Konvergenzkriterien sind:

Grenzwertkriterium
Majorantenkriterium
Minorantenkriterium
Verdichtungskriterium
Leibniz-Kriterium

Einen detaillierten Überblick zu weiteren Konvergenzkriterien findet man auf der Internetseite Serlo → Konvergenzkriterien.