Übungen

Übung 2.1

Integrieren Sie

\[\int_{-1}^{3} x\sqrt{x+1}\, dx\]

einmal mittels partieller Integration und einmal mit der Substitutionsregel.

Tipp: partielle Integration: \(u(x)=x\); Substitution: \(x = z - 1\).

Lösung

\[\int_{-1}^{3} x\sqrt{x+1}\, dx = \frac{112}{15} \approx 7.4667.\]

Lösungsweg

partielle Integration: \(\quad \int_{a}^{b} u(x)v'(x)\, dx = \left[u(x)v(x)\right]_{a}^{b} - \int u'(x)v(x)\, dx\)

\[\begin{align*} u(x)=x & \quad \Rightarrow u'(x) = 1\\ v'(x)=\sqrt{x+1} & \quad \Rightarrow v(x)=\int v'(x)\, dx = \int \sqrt{x+1}\, dx = \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} \end{align*}\]

Wir setzen in die partielle Integrationsregel ein:

\[\int \underbrace{x}_{u(x)}\underbrace{\sqrt{x+1}}_{v'(x)}\, dx = \underbrace{x}_{u(x)}\cdot \underbrace {\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}}_{v(x)} - \int \underbrace{1}_{u'(x)}\cdot\underbrace{\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}}_{v(x)}\, dx = \frac{2}{3}x(x+1)^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{15}(x+1)^{\frac{5}{2}}+C\]

Substitution: \(\quad z = x + 1 \quad \Rightarrow \frac{dz}{dx} = 1 \quad \Rightarrow dx = 1\, dz\)

Wir substituieren:

\[\begin{multline*} \int x\sqrt{x+1}\, dx = \int (z-1)\sqrt{z}\cdot 1 \, dz = \int (z-1) z^{\frac{1}{2}}\, dz = \\ = \int z^{\frac{3}{2}}\, dz - \int z^{\frac{1}{2}}\, dz = \frac{2}{5}z^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3}z^{\frac{3}{2}} + C \end{multline*}\]

Rücksubstitution:

\[\int x\sqrt{x+1}\, dx = \frac{2}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} + C\]

Klammert man den Term \(\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}\) aus und fasst den Rest zusammen, stellt man fest, dass beide Ergebnisse gleich sind.

Übung 2.2

Berechnen Sie das Integral

\[\int_{-\pi}^{0} 2x \sin(2x) \, dx.\]

Lösung

\[\int_{-\pi}^{0} 2x \sin(2x) \, dx = -\pi.\]

Lösungsweg

Hier ist die partielle Integration einmal anzuwenden und man erhält:

\[\begin{align*} \int_{-\pi}^{0}\underbrace{2x}_{u}\underbrace{\sin(2x)}_{v'}\, dx &= \left[2x \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) \right]_{-\pi}^{0} - \int_{-\pi}^{0} 2 \left( -\frac{1}{2} \, \cos(2x) \right) \, dx \\ &= \left[-x\cdot \cos(2x)\right]_{-\pi}^{0} + \int_{-\pi}^{0}\cos(2x)\, dx =\\ &= \left[-x\cos(2x)\right]_{-\pi}^{0} + \left[\frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{-\pi}^{0} = \\ &= \left(0 - (\pi\cdot\cos(2\pi))\right) + 0 - \left( \frac{1}{2}\sin(-2\pi)\right) = \\ &= -\pi \ . \end{align*}\]

Übung 2.3

Berechnen Sie

\[\int_{0}^{\pi} \cos(x)\cdot x \, dx.\]

Lösung

\[\int_{0}^{\pi} \cos(x)\cdot x \, dx = -2.\]

Lösungsweg

Übung 2.4

Berechnen Sie

\[\int_{-\pi}^{\pi} x^2\cdot \cos(x)\, dx.\]

Lösung

\[\int_{-\pi}^{\pi} x^2\cdot \cos(x)\, dx = -4\pi.\]

Lösungsweg

Übung 2.5

Berechnen Sie

\[\int_{-2\pi}^{2\pi} e^x \cdot \cos(x)\, dx.\]

Lösung

\[\int_{-2\pi}^{2\pi} e^x\cdot \cos(x)\, dx = -\frac{1}{2}e^{2\pi}-\frac{1}{2}e^{-2\pi}\approx 267.74.\]

Lösungsweg

Übung 2.6

Berechnen Sie

\[\int_{1}^{e^2} x^2\cdot \ln(x) \, dx .\]

Lösung

\[\int_{1}^{e^2} x^2\cdot \ln(x) \, dx = \frac{5}{9}e^6 + \frac{1}{9} \approx 224.24.\]

Lösungsweg

Übung 2.7

Berechnen Sie

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x)\cdot e^{\sin(x)}\, dx.\Rule{0 pt}{0 em}{1.5 em}\]

Lösung

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x)\cdot e^{\sin(x)}\, dx = e - 1 \approx 1.7183\Rule{0 pt}{0 em}{1.5 em}\]

Lösungsweg

Übung 2.8

Berechnen Sie

\[\int_{2}^{3}\frac{1}{(1-x)^3}\, dx.\]

Lösung

\[\int_{2}^{3}\frac{1}{(1-x)^3}\, dx = -\frac{3}{8} = - 0.375\]

Lösungsweg

Übung 2.9

Berechnen Sie

\[\int_{0}^{1} 2x^7 \cdot e^{x^2}\, dx.\]

Lösung

\[\int_{0}^{1} 2x^7 \cdot e^{x^2}\, dx = -2e + 6 \approx 0.5634\]

Lösungsweg

Weitere Übungsaufgaben

Für weitere Übungsaufgaben steht Ihnen der MATEX-Übungsaufgaben-Generator zur Verfügung. Wählen Sie anfangs Stufe 1 und steigern Sie sich auf Stufe 3.

• Aufgaben partielle Integration

• Aufgaben mit Substitution