13.1 Lineare DGL 1. Ordnung#
Differentialgleichungen 1. Ordnung haben wir bereits in den vorherigen Kapiteln kennengelernt. Ein spezieller Typ von Differentialgleichung, der in den Ingenieurwissenschaften sehr häufig verwendet wird, ist die lineare Differentialgleichung. Obwohl es auch lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung gibt, beschränken wir uns in dieser Vorlesung auf lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung. Unser erstes Ziel in diesem Kapitel ist es zu lernen, wie man erkennt, ob eine gegebene Differentialgleichung von diesem Typ ist.
Lernziele#
Lernziele
Sie können bei einer gegebenen Differentialgleichung entscheiden, ob es sich um eine lineare Differentialgleichung handelt oder nicht.
Sie wissen, was die Störfunktion einer linearen Differentialgleichung ist.
Sie können bei einer gegebenen linearen Differentialgleichung entscheiden, ob diese eine homogene oder eine inhomogene Differentialgleichung ist.
Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung#
Eine lineare Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung, in der die Funktion und ihre Ableitungen ausschließlich linear auftreten. Das bedeutet, sie werden beispielsweise nicht quadriert, es gibt keine Produkterme und sie erscheinen nicht innerhalb von Funktionen wie Sinus oder Exponentialfunktion oder anderen nichtlinearen Funktionen.
Was ist … eine lineare DGL 1. Ordnung?
Formal können wir eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung in der Form
darstellen. Die rechte Seite \(r(x)\) wird Störfunktion genannt.
Beispiel 1: Die Differentialgleichung
ist eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung. Zwar treten in dieser Differentialgleichung nichtlineare Terme auf (\(\sin(x)\) und \(x^2\)), doch beziehen sich diese ausschließlich auf die Variable \(x\) und nicht auf die gesuchte Funktion \(y\) oder ihre Ableitung \(y'\).
Beispiel 2: Die Differentialgleichung
ist hingegen keine lineare Differentialgleichung, sondern eine nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung, da die gesuchte Funktion \(y\) innerhalb der nichtlinearen Sinus-Funktion \(\sin(y)\) auftritt.
Störfunktion entscheidet über homogen und inhomogen#
Bei linearen Differentialgleichungen lassen sich Lösungsmethoden anwenden, die auf der Theorie von linearen Gleichungssystemen beruhen. Bei der Lösung von solchen Gleichungssystemen ist es entscheidend zu unterscheiden, ob das Gleichungssystem homogen oder inhomogen ist. Daher adaptieren wir diese beiden Begriffe auch für lineare Differentialgleichungen.
Was ist … eine homogene lineare DGL?
Eine lineare Differentialgleichung wird homogen genannt, wenn die Störfunktion gleich der Nullfunktion ist. Ansonsten wird sie inhomogen genannt.
Beispiel 1: Die Differentialgleichung
ist eine homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung. Die rechte Seite, also die Störfunktion, ist überall Null.
Beispiel 2: Die Differentialgleichung
ist hingegen eine inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung. Die rechte Seite, also die Störfunktion \(r(x)=x^2\), ist nicht die Nullfunktion.