13.3 Lösung inhomogene lineare DGL 1. Ordnung

13.3 Lösung inhomogene lineare DGL 1. Ordnung#

Nachdem im letzten Kapitel die Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung behandelt wurde, geht es nun um die Lösung inhomogenr linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung.

Lernziele#

Lernziele

Sie können eine inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung lösen.
Sie können das Lösungsverfahren Variation der Konstanten anwenden, um die Lösung einer linearen Differentialgleichung zu bestimmen.

Wie wird eine inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung gelöst?#

Nun betrachten wir eine inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung, also

\[a_1(x)y' + a_0(x) y = r(x).\]

Obwohl unser Ziel ist, die inhomogene Differentialgleichung zu lösen, lassen wir zunächst einmal die Störfunktion weg und berechnen die homogene Lösung

\[y_h(x)=C \cdot e^{-\int \frac{a_0(x)}{a_1(x)}\, dx}.\]

Um auch kenntlich zu machen, dass diese die Lösung der homogenen Differentialgleichung ist, wird diese Lösung mit einem kleinen “h” markiert. Wie üblich enthält die homogene Lösung eine Integrationskonstante \(C\in\mathbb{R}\). Der Trick, um die inhomogene Differentialgleichung zu lösen, beruht darauf, nun diese Integrationskonstante zu variieren. Wir ersetzen die Konstante \(C\) durch eine Funktion \(C(x)\) – das nennt man Variation der Konstanten. Der Lösungsansatz für die inhomogene lineare Differentialgleichung1. Ordnung lautet also

\[y(x)=C(x) \cdot e^{-\int \frac{a_0(x)}{a_1(x)}\, dx}.\]

Um die noch fehlende Funktion \(C(x)\) zu bestimmen, leiten wir den Lösungsansatz einmal ab und setzen das Ergebnis in die Differentialgleichung ein. Dadurch entsteht eine neue Differentialgleichung für die unbekannte Funktion \(C(x)\), die wir dann lösen.

Beispiel zur Lösung einer inhomogenen linearen DGL 1. Ordnung#

Gegeben ist die inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

\[y'+3y=x^2.\]

Die homogene Lösung ist \(y_h(x)=C\cdot e^{-3x}\). Wir variieren die Konstante und erhalten den Lösungsansatz

\[y(x)=C(x)\cdot e^{-3x}.\]

Als nächstes wird dieser Lösungsansatz abgeleitet

\[\Rightarrow \quad y'(x)=C'(x)e^{-3x} + C(x)\cdot (-3) e^{-3x}\]

und in die ursprüngliche Differentialgleichung eingesetzt:

\[C'(x) \, e^{-3x} -3 C(x) \, e^{-3x} + 3C(x)\cdot e^{-3x} = x^2.\]

Wir vereinfachen zuerst die Gleichung

\[C'(x)\, e^{-3x} - 3 C(x) \, e^{-3x} + 3C(x)\cdot e^{-3x} = x^2\]

zu

\[ C'(x)\, e^{-3x} = x^2 \quad \Rightarrow \quad C'(x)=x^2\cdot e^{3x}.\]

Danach integrieren wir auf beiden Seiten unbestimmt nach \(x\), indem wir zweimal die partielle Integrationsregel anwenden:

\[\begin{multline*} C(x)= \left[x^2\cdot\frac{1}{3}e^{3x}\right] -\int 2x \frac{1}{3}e^{3x}\, dx = \\ = \left[x^2\cdot\frac{1}{3}e^{3x}\right] - \left[2x\cdot\frac{1}{9}e^{3x}\right] + \int 2\cdot \frac{1}{3}e^{3x} \, dx = \\ = \frac{1}{27}e^{3x}(9x^2 - 6x + 2) + C_1 \end{multline*}\]

Nachdem wir nun die Funktion \(C(x)\) bestimmt haben, setzen wir diese Funktion in den Lösungsansatz ein und haben damit die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung bestimmt:

\[y(x)= C_1e^{-3x} + \frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{9}x + \frac{2}{27}.\]